APMC 2000
Dag 1
Vraag 1
Bepaal alle veeltermen $P(x)$ met reële coëfficiënten met de volgende eigenschap:
er bestaat een natuurlijk getal $n$ zodat de gelijkheid
$$\sum_{k=1}^{2n+1}(-1)^k\left\lfloor\frac k2\right\rfloor P(x+k)=0$$
opgaat voor oneindig veel reële getallen $x$.
Vraag 2
In eenheidskubus $ABCDEFGH$ staat $CG$ loodrecht op het vlak $ABCD$. $O_1$ is de ingeschreven cirkel van het vierkant $ABCD$ en $O_2$ de omgeschreven cirkel van de driehoek $BDG$. Vind $\min\{|XY|X\in O_1,Y\in O_2\}$.
Vraag 3
Voor ieder natuurlijk getal $n\geq3$, los het volgend stelsel van vergelijkingen op in reële getallen:
$$\left\{\begin{array}l
x_1^3=x_2+x_3+1 \\ \ldots \\ x_k^3=x_{k+1}+x_{k+2}+1 \\ \ldots \\ x_{n-1}^3=x_n+x_1+1 \\ x_n^3=x_1+x_2+1.\end{array}$$
Dag 2
Vraag 1
Vind alle natuurlijke getallen $N$ die enkel 2 en 5 als priemdelers hebben, zodat $N+25$ een volkomen kwadraat is.
Vraag 2 Opgelost!
Voor welke natuurlijke getallen $n\geq5$ is het mogelijk om de hoekpunten van een regelmatig $n-$hoek te kleuren met maximum 6 kleuren zodanig dat iedere vijf opeenvolgende hoekpunten verschillende kleuren hebben?
Vraag 3
Beschouw het volgende ruimtelichaam:
$$Q=Q_0\cup Q_1\cup Q_2\cup Q_3\cup Q_4\cup Q_5\cup Q_6,$$
waar $Q_i\ (i\in\{0,...,6\}$ eenheidskubussen en $Q_0$ heeft een zijde gemeen met alle $Q_i\ (i\in\{1,...,6\})$. Bewijs of ontkracht volgende stelling: de ruimte kan opgevuld worden met dergelijke figuren zodanig dat geen twee figuren gemeenschappelijke inwendige punten hebben.
Dag 3
Vraag 1
In het vlak is de driehoek $A_0B_0C_0$ gegeven. Beschouw alle driehoeken $ABC$ die voldoen aan
(i) de rechten $AB,BC,CA$ gaan door de punten $C_0,A_0,B_0$ respectievelijk,
(ii) de driehoeken $ABC$ en $A_0B_0C_0$ zijn gelijkvormig.
Vind de verzameling die alle middelpunten van de omgeschreven cirkels van dergelijke $ABC$ bevat.
Vraag 2 Opgelost!
In het vlak zijn 27 punten gegeven waarvan er geen drie collineair zijn. Vier van deze punten zijn de hoekpunten van het eenheidsvierkant, de andere 23 liggen binnen dit vierkant. Bewijs dat er drie punten bestaan in deze verzameling die een driehoek vormen met een oppervlakte kleiner of gelijk aan $\frac1{48}$.
Vraag 3
Voor alle positieve reële getallen $a,b,c$ met $a+b+c=1$, bewijs dat
$$2\leq\left(1-a^2\right)^2+\left(1-b^2\right)^2+\left(1-c^2\right)^2\leq (1+a)(1+b)(1+c).$$
Bepaal ook wanneer gelijkheid optreedt.
Vraag 4
Het plan van het kasteel van Baran\'ow Sandomierski kan voorgesteld worden als de volgende tekening met 16 hoekpunten. Een nachtbewaker plant om een gesloten pad langs de randen van deze figuur te wandelen.
(i) Hoeveel zo'n paden (richtingen niet in acht genomen) die precies één keer door elk hoekpunt gaan bestaan er?
(ii) Hoeveel zo'n paden (richtingen wel in acht genomen) die elke zijde van de figuur precies één keer bevatten en zichzelf niet snijden zijn er?
