eenheidsvierkant
Opgave - APMC 2000 dag 3 vraag 2
In het vlak zijn 27 punten gegeven waarvan er geen drie collineair zijn. Vier van deze punten zijn de hoekpunten van het eenheidsvierkant, de andere 23 liggen binnen dit vierkant. Bewijs dat er drie punten bestaan in deze verzameling die een driehoek vormen met een oppervlakte kleiner of gelijk aan $\frac1{48}$.
- login om te reageren
Oplossing
Lemma. Als er $N>1$ punten binnen het vierkant liggen (buiten de $4$ hoekpunten), worden er $2N+2$ driehoeken gevormd.
Bewijs. Voor $N=1$ is de stelling triviaal, en als we een punt (dat steeds binnen een driehoek ligt, anders waren er 3 punten op een rechte) toevoegen splitst een driehoek in $3$ delen, dus komen er twee bij. Per inductie volgt het resultaat. $\Box$
Zodoende hebben we hier $48$ driehoekjes, als die allemaal oppervlakte groter dan $\frac{1}{48}$ hadden zou de totale oppervlakte groter dan $1$ zijn, strijdigheid.