regelmatige n-hoek kleuren

Het is mogelijk voor $n\in\{5,6,10,11,12,15,16,17,18,20,21,...\}$.

Schrijven we de oplossingsverzameling als $\{n=5x+a\|x\in N$,$a\in\{0,1,2,3,4\}\,, x \ge a\}$. De oplossing bestaat dan uit het $(x-a)$ keer $R,W,G,B,Z$ en $a$ keer $R,W,G,B,Z,P$ te gebruiken als kleur voor de opeenvolgende hoekpunten.

Enkel voor $n\in\{7,8,9,13,14,19\}$ is het onmogelijk: omdat er maximum $6$ verschillende kleuren zijn, zien we dat er volgens het duivenhokprincipe een kleur minimum $2,2,2,3,3,4$ keer respectievelijk voorkomt.

Als we de manieren om $5$ opeenvolgende hoekpunten te kiezen nagaan, zijn er dat uiteraard ook respectievelijk $7,8,9,13,14,19$, ieder hoekpunt wordt echter wel $5$ keer meegeteld zodat er een kleur is dat minimum respectievelijk $2\cdot5,2\cdot5,2\cdot5,3\cdot5,3\cdot5,4\cdot5$ voorkomt.

We zien dat hier er dus een kleur is dat meer keer werd geteld dan er verzamelingen van $5$ opeenvolgende hoekpunten zijn $\rightarrow$ volgens het duivenhokprincipe is het bij ieder van deze voorbeelden mogelijk een voorbeeld van $5$ opeenvolgende hoekpunten te vinden waarbij een kleur meerdere keren werd gebruikt.

We hebben dus bewezen voor welke getallen het wel gaat en dat het voor de andere getallen niet gaat.