APMC 1989
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
Toon aan dat
$$\left(\sum_{i=1}^nx_iy_iz_i\right)^3\leq\left(\sum_{i=1}^nx_i^3\right) \left(\sum_{i=1}^ny_i^3\right)\left(\sum_{i=1}^nz_i^3\right)$$
voor alle positieve reële $x_i,y_i,z_i$.
Vraag 2 Opgelost!
Ieder punt in het vlak is ofwel blauw ofwel rood gekleurd. Toon aan dat er ofwel drie rode punten zijn die een gelijkzijdige driehoek vormen ofwel drie blauwe punten die een gelijkzijdige driehoek vormen.
Vraag 3 Opgelost!
Vind alle natuurlijke getallen $n$ met vier cijfers $\overline{abcd}$ zodat
(i) $a=b$ en $c=d$,
(ii) $\overline{aac}$ en $\overline{acc}$ zijn beide priem,
(iii) $n$ is het product van drie priemgetallen, één met 1 cijfer, één met 2 cijfers, en één met 3 cijfers.
Dag 2
Vraag 1
Toon aan dat we voor iedere convexe veelhoek een cirkel kunnen vinden door drie buur-hoekpunten zodat alle punten van de veelhoek in of op de cirkel liggen.
Vraag 2
$S$ is een eenheidskubus en $S$ zijn ingeschreven sfeer. $A$ is een hoekpunt van de kubus. Zij $L$ een rechte door $A$ die $S$ snijdt, en $Y$ en $Z$ de snijpunten van $L$ en $S$ met $Y$ dichtst bij $A$. Zij $d(L)=AY\cdot AZ$, vind de maximumwaarde van $d(L)$ voor alle $L$. Welke rechten geven dit maximum?
Vraag 3 Opgelost!
Vind de langste strikt stijgende rij van volkomen kwadraten, zodanig dat het verschil tussen twee opeenvolgende termen een priemgetal of een kwadraat van een priemgetal is.
Dag 3
Vraag 1
Definieer $f(1)=2$ en $f(n)=3^{f(n-1)}$ als $n$ even is en $f(n)=2^{f(n-1)}$ als $n$ oneven is. Tevens $g(1)=3$ en $g(n)=2^{f(n-1)}$ als $n$ even is en $g(n)=3^{f(n-1)}$ als $n$ oneven is. Welk is groter, $f(10)$ of $g(10)$?
Vraag 2
$ABC$ is een scherphoekige driehoek en $P$ een binnen in of op de omtrek van $ABC$. De voetpunten van de loodrechten uit $P$ op $AB,BC,CA$ worden respectievelijk $C',A',B'$ genoemd. Toon aan dat als $ABC$ gelijkzijdig is, dat $\displaystyle{\frac{AC'+BA'+CB'}{PA'+PB'+PC'}}$ constant is voor alle posities van $P$ en dat dit niet meer zo is als $ABC$ niet gelijkzijdig is.
Vraag 3 Opgelost!
We noemen een natuurlijk getal blauw als het voor een zekere oneven $k>1$ kan geschreven worden als som van de kwadraten van $k$ opeenvolgende elementen. Bijvoorbeeld $14=1^2+2^2+3^2$ en $415=7^2+8^2+9^2+10^2+11^2$ zijn blauwe getallen. Vind het kleinste blauwe getal dat zelf een oneven kwadraat is.
