blauw of rood

Er zijn oneindig veel punten in het vlak, dus zal er steeds een kleur zijn die op minstens twee punten staat. Zeg dat deze kleur blauw is. Nu coördinatiseren het vlak op zo'n manier dat deze twee blauwe punten in de punten $(-1,0)$ en $(1,0)$ te vinden zijn.

Stel nu dat zo'n driehoek niet bestaat. We kijken dan wat dit allemaal impliceert:
De punten $(0,\sqrt{3})$ en $(0,-\sqrt{3})$ zijn rood.
De punten $(3,0)$ en $(-3,0)$ zijn blauw.
De punten $(1,2\sqrt{3})$ en $(-1,2\sqrt{3})$ zijn rood.

We zien nu dat de driehoek met hoekpunten $(0,\sqrt{3})$, $(1,2\sqrt{3})$ en $(-1,2\sqrt{3})$ gelijkzijdig is en dat alledrie de hoekpunten rood zijn. Bijgevolg is er steeds zo'n driehoek.