ongelijkheid
Opgave - APMC 1989 dag 1 vraag 1
Toon aan dat
$$\left(\sum_{i=1}^nx_iy_iz_i\right)^3\leq\left(\sum_{i=1}^nx_i^3\right) \left(\sum_{i=1}^ny_i^3\right)\left(\sum_{i=1}^nz_i^3\right)$$
voor alle positieve reële $x_i,y_i,z_i$.
- login om te reageren
Oplossing
Speciaal geval van Hölder. :)
Of elementair: net zoals het in Peter's cursus met matrices staat voor Cauchy kun je hier met kubussen gaan werken: $\sum_{sym}x_i^3y_j^3z_k^3\ge \sum_{sym}(x_iy_iz_i)(y_iy_jy_k)(z_iz_jz_k)$ wegens AM-GM, dit toepassen op de uitwerking van $\left(\sum_{i=1}^ny_i^3\right) \left(\sum_{i=1}^nz_i^3\right) \left(\sum_{i=1}^nx_i^3\right)$ geeft $\left(\sum_{i=1}^nx_iy_iz_i\right)^3$, zodat de gevraagde ongelijkheid geldt.