blauwe getallen

Even kwadraten zijn congruent met 0 modulo 4, oneven met 1, dus moet $k=1+8t$ voor zekere $t\in\mathbb{N}$. Verder zijn oneven kwadraten enerzijds modulo 8 congruent met 1, even kwadraten anderzijds met 0 als hun grondtal een viervoud is, en met 4 als dit geen viervoud is. Aangezien $k\equiv 1 \pmod 8$ komen de kwadraten met rest 4 mod 8 een even aantal keer voor, dus geeft de voorwaarde op de oneven kwadraten dat $k=1+16t$ voor zekere $t \in \mathbb{N}$.

Noem nu het gezochte blauwe getal $N^2$, als het bestaat.
Uit $\sum^{n-1}_{i=1}i^2=\frac{2n^3-3n^2+n}{6}$ volgt nu, na afsplitsen van de factor $16t+1$ in het resultaat, dat $$3\sum^{a+16t}_{i=a}i^2 = (16t+1)(256t^2+8t+48at+3a^2).$$

Voor $t=1$ betekent dit dat $17|3N^2$, dus $17|N$, en daar $17$ een priemgetal is dus ook $17^2|3N^2$, dus $17|256+8+48a+3a^2$ ofte $9-3a+3a^2\equiv0\pmod{17}$, wat geen oplossingen heeft.

Voor $t=2$ is de minimale som $\sum^{16}_{i=-16}i^2=2992$, en de tweede kleinste is dus $\sum^{17}_{i=-15} i^2=55^2$. Daar voor $t>2$ de minimale som veel hoger ligt, is dit het gezochte getal.