rij van volkomen kwadraten

Dé langste rij bestaat niet. De rijen die voldoen zijn $0,4,9,16,25,36,49$ en $1,4,9,16,25,36,49$.

Bewijs:
Stel het kleinste uit de rij gelijk aan ${n_1}^2$ enzovoort.
Stel $n_{a+1}=n_a+k_a$ ($k_a>0$), dan moet $k_a(k_a+2n_a)=x_a$ een priemgetal zijn of het kwadraat van een priemgetal.

• Als $x_a$ een priemgetal is moet duidelijk $k_a=1$. Dan moet $1+2n_a$ een priemgetal zijn.
• Stel dat $x_a$ het kwadraat van een priemgetal is:
  
  • dan moet ofwel $x_a$ even zijn en dus gelijk aan $4$ waaruit $k_a=2$ en $n_a=0=n_1$.
  • Anders moet $x_a$ oneven zijn en dus $k_a$ oneven. Als $k_a=1$ dan moet $1+2n_a$ het kwadraat van een priemgetal zijn. Als $k>1$ dan moet $2n_a=0$ en dus $n_a=0=n_1$.

Hieruit blijkt dat $k_a=1$ voor $a>1$.
De rij $x_a$ is dus een rij opeenvolgende oneven getallen, eventueel afgezien van $x_1$.

Als $x_1\ge 5$ geldt dat er tussen de $6$ getallen $x_1,x_1+2,x_1+4,\cdots,x_1+10$ minstens $2$ drievouden $>3$ zitten, die niet beide gelijk kunnen zijn aan $9$ als het enige kwadraat van een priemgetal dat een 3-voud is, zodat in dit geval de rij geen $7$ waarden kon bevatten.

Nu is het duidelijk dat $x_1=3$ of $x_1=4$, $x_2=5$, ..., $x_6=13$ de langst mogelijke rijen geven, omdat $x_1>1$, en $3,4,5,7,9,11,13$ zijn allen priem of priemkwadraat en $15$ is dat niet.
De bijbehorende rijen zijn resp. $1,4,9,16,25,36,49$ en $0,4,9,16,25,36,49$.