vind alle natuurlijke getallen

Laten we het ons voor straks wat gemakkelijk maken: definieer de volzin $$\left(\text{Reden } \omega\right) = \left(n \text{ heeft geen priemdeler met drie cijfers.} \right)$$ :grin:

We weten dat $n = \overline{abcd} = \overline{aacc} = 11(100a+c)$. Bijgevolg is 11 de priemdeler van twee cijfers die $n$ deelt. Omdat $\overline{aac}$ priem moet zijn, moet $c$ natuurlijk oneven zijn en verschillend van 5. Bijgevolg zijn 2 en 5 niet de priemdeler van één cijfer die $n$ deelt. We hebben dus nog 2 mogelijkheden voor die priemdeler: 3 en 7.

• Stel dat $7 | n$, dan heeft $n$ drie priemdelers: 7, 11 en een getal van drie cijfers. Bijgevolg is $n\geq 7\cdot 11\cdot 100 = 7700$, zodat $a\geq 7$.
  
  • Stel dat $a=7$, dan moet, dan moet $11c \equiv n \equiv 0\mod{7}$, zodat $7|c$, en dus $c=7$ (want $c=0$ kan niet, want dan is $c$ even). Maar dan zou $\overline{aac}=777$ niet priem zijn.
  • Stel dat $a=8$, dan moet $8800+11c \equiv n \equiv 0\mod{7}$, zodat $c\equiv 5\mod{7}$, en dus $c=5$, wat niet mag, zoals we daarnet zagen.
  • Stel dat $a=9$, dan moet $9900+11c \equiv n\equiv 0\mod{7}$, zodat $c\equiv 3\mod{7}$ en dus $c=3$. Maar dan is $\overline{aac}=993$ niet priem.
• Stel dat $3 | n$, dan moet $11(100a+c)\equiv 0\mod{3}$, wat enkel kan als $a\equiv -c\mod{3}$. Aangezien $c$ oneven en verschillend van 5 moet zijn, kan enkel $c=1,3,7,9$. Maar als $c=3$ of $c=9$, dan zal $a\equiv -c \equiv 0 \equiv c\mod{3}$ en dus zou $\overline{aac}\equiv 0\mod{3}$, en dus niet priem zijn. Bijgevolg hoeven we enkel $c=1$ en $c=7$ te beschouwen.
  
  • Stel dat $c=1$, dan moet $a\equiv 2\mod{3}$, zodat $a\in\{2,5,8\}$.
    
    • Als $a=2$, dan is $n = 2211 = 3\cdot 11\cdot 67$. Reden $\omega$.
    • Als $a=5$, dan is $\overline{aac}=551=19\cdot 29$ niet priem.
    • Als $a=8$, dan is $n=8811=3^2\cdot 11\cdot 89$. Reden $\omega$.
  • Stel dat $c=7$, dan moet $a\equiv 2\mod{3}$, zodat $a\in\{2,5,8\}$.
    
    • Als $a=2$, dan is $n = 2277 = 3\cdot 11\cdot 69$. Reden $\omega$.
    • Als $a=5$, dan is $n=5577=3\cdot 11\cdot 13^2$. Reden $\omega$.
    • Als $a=8$, dan is $n=8877=3\cdot 11\cdot 269$. Dit is mogelijk. $\overline{aac} = 887$ en $\overline{acc} = 877$ zijn beiden priem, als ik me niet vergis, dus dit is een oplossing.

Alle VERDOMD SAAIE caseworking is gedaan, dus enkel $n=8877$ is een oplossing.[/]

[/]

[/]

[/]

[/]