APMC 1988
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
$p(x)$ is een veelterm met gehele coëfficiënten en met minimum 6 verschillende gehele wortels. Toon aan dat $p(x)-12$ geen gehele wortels heeft.
Vraag 2
$1\leq a_1\leq a_2\leq\ldots\leq a_n$ zijn natuurlijke getallen. Als $a_2\geq2$, toon dan aan dat $(a_1x_1^2+\cdots+a_nx_n^2)+2(x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_{n-1}x_n) >0$ voor alle reële $x_i$ niet allemaal tegelijk 0. Als $a_2<2$, toon aan dat we $x_i$ kunnen vinden niet allemaal gelijk aan 0 waarvoor de ongelijkheid niet meer opgaat.
Vraag 3
Zij $ABCD$ een convexe vierhoek met geen twee zijden evenwijdig. De bissectrices van de hoeken gevormd door de twee paren tegenoverliggende zijden snijden de zijden van $ABCD$ in $P,Q,R,S$ zodat $PQRS$ convex is. Toon aan dat $ABCD$ een omgeschreven cirkel heeft als $PQRS$ een ruit is.
Dag 2
Vraag 1 Opgelost!
Vind alle strikt stijgende functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ die voldoen aan $f(f(x)+y)=f(x+y)+f(0)$ voor alle $x,y\in\mathbb R$.
Vraag 2 Opgelost!
De rijen van gehele getallen $a_1,a_2,a_3,\ldots$ en $b_1,b_2,b_3,\ldots$ voldoen aan $b_n=a_n+9$ en $a_{n+1}=8b_n+8$. Als het getal 1988 in minstens één van de twee rijen voorkomt, toon dan aan dat de rij $a_n$ geen volkomen kwadraten bevat.
Vraag 3
$R_1,R_2,R_3$ zijn drie lijnstukken in de ruimte met eindpunt $O$ zodat als $A_i$ eender welk punt op $R_i$ is behalve $O$, dat de driehoek $A_1A_2A_3$ scherphoekig is. Toon aan dat de drie lijnstukken onderling loodrecht op elkaar staan.
Dag 3
Vraag 1
8 punten worden in een cirkel gesteld. Ieder punt is ofwel blauw, ofwel geel gekleurd. Iedere minuut veranderen de kleuren van de punten allemaal gelijktijdig. Als de twee buren van een punt dezelfde kleur hadden, dan wordt het punt zelf geel. Als de twee buren een ander kleur hadden, dan wordt het punt blauw. Toon aan dat ongeacht de startkleuren van de punten uiteindelijk alle punten geel worden. Wat is de maximumtijd die daarvoor nodig is?
Vraag 2
We gebruiken maximum 1988 eenheidskubusjes en zo bepalen we $A,B$ en $C$ die respectievelijk de afmetingen $1\times a\times a ,1\times b\times b$ en $1\times c\times c$ hebben, met $a\leq b\leq c$. Zij nu $d(a,b,c)$ het aantal manieren waarop we $B$ plat op $C$ kunnen leggen en $A$ plat op $B$, zodat de eenheidskubusjes perfect boven elkaar zitten en er geen kubusjes van $B$ over de rand van $C$ hangen, en ook geen van $A$ over de rand van $C$. Hierbij beschouwen we schikkingen als verschillend zelfs als ze kunnen geroteerd of gespiegeld worden in elkaar. Vind $a,b,c$ zodat $d(a,b,c)$ maximaal is.
Vraag 3
De rechthoek $R$ heeft natuurlijke getallen $a$ en $b$ als zijde. Zij $D(a,b)$ het aantal manieren om $R$ te betegelen met congruente rechthoekige tegels die allemaal gelijk zijn geörienteerd, vind dan de waarde van $a+b$ zodat $\displaystyle{\frac{D(a,b)}{a+b}}$ maximaal is.
