gehele veelterm

Schrijf $p(x) = (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)(x-a_5)(x-a_6)Q(x)$ met $Q(x)$ ook een gehele veelterm (we werken de nulpunten weg via horner en het eindresultaat is dan ook altijd een gehele veelterm).

Welnu, stel dat $p(x)-12$ wel gehele wortels heeft, dan moet $12$ gelijk zijn aan het product van zes verschillende gehele getallen (we laten $Q(x)$ terzijde, aangezien die toevallig gelijk kan zijn aan één van de andere termen). Maar het kleinste product van zes verschillende termen in absolute waarde is $$|1.(-1).2(-2).3.(-3)| = 36$$ dus gelijkheid met $12$ kan nooit voldoen $\blacksquare$

Het is zelfs zo dat alle getallen $n$ met $|n|<36$ niet kunnen voldoen.