functievergelijking

Opgave - APMC 1988 dag 2 vraag 1

Vind alle strikt stijgende functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ die voldoen aan $f(f(x)+y)=f(x+y)+f(0)$ voor alle $x,y\in\mathbb R$.

Oplossing

Vul $(x,y) = (u+v,-v)$ in: $f(f(u+v)-v) = f(u)+f(0)$. Vul $(x,y) = (u,0)$ in: $f(f(u)) = f(u)+f(0)$. Bijgevolg is $f(f(u+v)-v) = f(u)+f(0) = f(f(u))$.

Uit het feit dat $f$ strikt stijgend is, volgt dat $f$ injectief is, dus $f(u+v)-v = f(u)$. Hierin $(u,v) = (0,x)$ kiezen, geeft $f(x) = x+f(0)$. Men kan eenvoudig nagaan dat deze functie voldoet aan de opgave.