IrMO 2007

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle koppels priemgetallen $(p,q)$ zodat $p|q+6$ en $q|p+7$.

Vraag 2 Opgelost!

Bewijs dat $\triangle ABC$ rechthoekig is als en slechts als $\sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 C=2$.

Vraag 3

Zij $P$ een vast punt op een cirkel en $Q$ een vast punt op een lijn. Het punt $R$ varieert op de cirkel en $P,Q,R$ zijn niet collineair. De cirkel door $P,Q,R$ snijdt de eerste cirkel ook in het punt $V$. Toon aan at de lijn $VR$ door een vast punt gaat.

Vraag 4

In Wonderland liggen zes grote steden, en tussen elk koppel steden vliegt een lijnvlucht, in beide richtingen georganiseerd door ofwel maatschappij WonderFlight, ofwel maatschappij GhostAir. Toon aan dat er vier steden $A,B,C,D$ zijn, zodat je $A\to B\to C\to D\to A$ kunt vliegen met dezelfde maatschappij.

Vraag 5

Zij $n\ge r\ge0$ gehele getallen. Toon aan dat $\frac{n+1-2r}{n+1-r}\binom{n}{r}$ een geheel getal is, en dat $$\sum^{\lfloor n/2\rfloor}_{r=0} \frac{n+1-2r}{n+1-r}\binom{n}{r} < 2^{n-2}.$$

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Zij $r,s,t$ de wortels van de veelterm $p(x)=x^3-2007x+2002$. Bepaal de waarde van $$\frac{r-1}{r+1}+\frac{s-1}{s+1}+\frac{t-1}{t+1}.$$

Vraag 2 Opgelost!

Zij $a,b,c>0$. Bewijs dat $$\frac{a+b+c}3\le \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}3} \le \frac{\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}}{3}$$ en vind wanneer gelijkheid optreedt.

Vraag 3

Zij $\triangle ABC$ een driehoek met zijdelengtes $a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|$, en laat de interne bissectrices van $\angle A,\angle B,\angle C$ de overstaande zijdes snijden in respectievelijk $D,E,F$. Noteren we eveneels $d=|AD|,e=|BE|,f=|CF|$, bewijs dan dat $$def=\frac{4abc(a+b+c)S}{(a+b)(b+c)(c+a)},$$ waarbij $S$ de oppervlakte van de driehoek voorstelt.

Vraag 4 Opgelost!

Vind het aantal nullen op het einde van $2007!$, en vind ook het laatste niet-nul cijfer.

Vraag 5

Zij $a,b\in\mathbb{R}$ zodanig dat $f(x)=x^2+ax+b$ geen niet-negatieve reële wortels heeft. Bewijs dat er veeltermen $g(x),h(x)$ bestaan met niet-negatieve reële coëfficiënten, zodat $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$.