We bewijzen eerst dat als $\triangle ABC$ rechthoekig is, aan de uitdrukking wordt voldaan:
Stellen we $A=90$ dan is de uitdrukking te herschrijven tot $1+sin^2(B)+sin^2(90-B)=1$
Aangezien $sin(90-B)=cos(B)$ en wegens de hoofdstelling van de goniometrie wordt aan de uitdrukking voldaan.
We bewijzen de andere kant: stel $C=180-(A+B)$ Dan is de uitdrukking te herschrijven tot
$sin^2(A)+sin^2(B)+sin^2(A+B)=2$ Na gebruik te maken van de halveringsformules(=formules van Carnot) en de formules van Simson, valt de uitdrukking te herschrijven tot
$cos(A+B)cos(A-B)+cos^2(A+B)=0$
Samennemen van beide termen geeft ons:
$2cos(A+B)cos(A)cos(B)=0$ en aangezien $C=180-(A+B)$ krijgen we
$cos(A)cos(B)cos(C)=0$
Dus een van de hoeken moet recht zijn om aan de uitdrukking te voldoen.
Oplossing
We bewijzen eerst dat als $\triangle ABC$ rechthoekig is, aan de uitdrukking wordt voldaan:
Stellen we $A=90$ dan is de uitdrukking te herschrijven tot $1+sin^2(B)+sin^2(90-B)=1$
Aangezien $sin(90-B)=cos(B)$ en wegens de hoofdstelling van de goniometrie wordt aan de uitdrukking voldaan.
We bewijzen de andere kant: stel $C=180-(A+B)$ Dan is de uitdrukking te herschrijven tot
$sin^2(A)+sin^2(B)+sin^2(A+B)=2$ Na gebruik te maken van de halveringsformules(=formules van Carnot) en de formules van Simson, valt de uitdrukking te herschrijven tot
$cos(A+B)cos(A-B)+cos^2(A+B)=0$
Samennemen van beide termen geeft ons:
$2cos(A+B)cos(A)cos(B)=0$ en aangezien $C=180-(A+B)$ krijgen we
$cos(A)cos(B)cos(C)=0$
Dus een van de hoeken moet recht zijn om aan de uitdrukking te voldoen.