rechthoekige driehoek

Opgave - IrMO 2007 dag 1 vraag 2

Bewijs dat $\triangle ABC$ rechthoekig is als en slechts als $\sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 C=2$.

Oplossing

We bewijzen eerst dat als $\triangle ABC$ rechthoekig is, aan de uitdrukking wordt voldaan:
Stellen we $A=90$ dan is de uitdrukking te herschrijven tot $1+sin^2(B)+sin^2(90-B)=1$

Aangezien $sin(90-B)=cos(B)$ en wegens de hoofdstelling van de goniometrie wordt aan de uitdrukking voldaan.

We bewijzen de andere kant: stel $C=180-(A+B)$ Dan is de uitdrukking te herschrijven tot
$sin^2(A)+sin^2(B)+sin^2(A+B)=2$ Na gebruik te maken van de halveringsformules(=formules van Carnot) en de formules van Simson, valt de uitdrukking te herschrijven tot
$cos(A+B)cos(A-B)+cos^2(A+B)=0$

Samennemen van beide termen geeft ons:
$2cos(A+B)cos(A)cos(B)=0$ en aangezien $C=180-(A+B)$ krijgen we
$cos(A)cos(B)cos(C)=0$

Dus een van de hoeken moet recht zijn om aan de uitdrukking te voldoen.