priemgetallen

Opgave - IrMO 2007 dag 1 vraag 1

Vind alle koppels priemgetallen $(p,q)$ zodat $p|q+6$ en $q|p+7$.

Oplossing

Merk op dat $p=q+6$ en $q=p+7$ onmogelijk is, dus moet $2p \le q+6$ en/of $2q \le p+7.$
Nu geldt dat dan $2p \le q+6 \le p+7+6=p+13$ zodat $p \le 13$ in het eerste geval en analoog $q \le 13$ in het tweede geval.
Dit betekent dat $p \le 20$ in beide gevallen.
Het is nu eenvoudig de gevallen $p \in \{2,3,5,7,11,13,17,19\}$ af te gaan en te concluderen dat de enige oplossing $(19,13)$ is.