CanMO 1971

Vraag 1 Opgelost!

$DB$ is een koorde van een cirkel en $E$ is een punt op het lijnstuk $DB$ zodat $DE=3$ en $EB=5$ en zij $O$ het midden van de cirkel. Teken de halfrechte $OE$ met beginpunt $O$ en noem het snijpunt met de cirkel $C$. Als gegeven is dat $EC=1$, vind dan de straal van de cirkel.

Vraag 2 Opgelost!

Zij $x,y$ twee positieve reële getallen, zodat $x+y=1$. Toon aan dat
$$\left(1+\frac1x\right)\left(1+\frac1y\right)\geq9.$$

Vraag 3 Opgelost!

$ABCD$ is een vierhoek met $AD=BC$. Als $\angle ADC>\angle BCD$, bewijs dan dat $AC>BD$.

Vraag 4 Opgelost!

Bepaal alle reële getallen $a$ zodat de twee veeltermen $x^2+ax+1$ en $x^2+x+a$ op zijn minst één wortel gemeen hebben.

Vraag 5 Opgelost!

Zij
$$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_0$$
met $a_i\in\mathbb{Z}$. Als zowel $p(0)$ als $p(1)$ oneven zijn, toon dan dat $p(x)$ geen gehele wortels heeft.

Vraag 6 Opgelost!

Toon aan dat voor alle gehele getallen $n$, $n^2+2n+12$ geen veelvoud is van 121.

Vraag 7 Opgelost!

Zij $n$ een getal van vijf cijfers (met eerste cijfer verschillend van 0) en zij $m$ het viercijferige getal dat we verkrijgen door het middelste cijfer van $n$ te schrappen. Bepaal alle $n$ zodat $n/m$ een natuurlijk getal is.

Vraag 8 Opgelost!

Een regelmatige vijfhoek is ingeschreven in een cirkel met straal $r$. $P$ is een willekeurig punt in de vijfhoek. Loodrechten worden getrokken vanuit $P$ op de zijden van de vijfhoek.
a) Bewijs dat de som van de lengtes van deze loodrechten constant is.
b) Druk deze constante uit in functie van $r$.

Vraag 9

Twee vlaggestokken van hoogte $h$ en $k$ worden $2a$ eenheden van elkaar geplaatst op een vlak oppervlak. Vind de verzameling van alle punten in het vlak die zodanig gesitueerd zijn dat de hellingshoeken tot de toppen van de vlaggestokken gelijk zijn.

Vraag 10 Opgelost!

Veronderstel dat $n$ mensen elk precies één stukje informatie weten, en dat alle $n$ stukjes informatie verschillend zijn. Iedere keer dat $A$ $B$ opbelt, vertelt $A$ alles wat hij weet aan $B$, terwijl $B$ niks zegt. Wat is het minimum aantal telefoontjes nodig tussen twee mensen zodanig dat iedereen alles weet? Bewijs dat je antwoord minimaal is.