vijf cijfers

Herschrijf $n$ en $m$ als respectievelijk $10000A+1000B+100C+10D+E$ en $1000A+100B+10D+E$.

Stel dat $\frac{n}{m}<10$ dan is

$n= \frac{n}{m}(1000A+100B+10D+E)$

maximaal voor $\frac{n}{m}= 9$, dus als

$n= 9000A+900B+90D+9E$

maar $n$ is ook $10000A+1000B+100C+10D+E$, dus

$n= 9000A+900B+90D+9E= 10000A+1000B+100C+10D+E$

ofwel

$1000A+100B+100C= 80D+8E$, waarbij het rechterlid voor alle waarden van A, B, C, D en E kleiner blijft dan het linkerlid, want voor de extreme waarden $D=E=9$ , $A=1$ en $B=C=0$ is het rechterlid nog steeds het kleinst.

Stel dat $\frac{n}{m}>10$ dan is

$n= \frac{n}{m}(1000A+100B+10D+E)$

minimaal voor $\frac{n}{m}=11$, dus als

$n= 11000A+1100B+110D+11E$

maar $n$ is ook $10000A+1000B+100C+10D+E$, dus

$n= 11000A+1100B+110D+11E= 10000A+1000B+100C+10D+E$

ofwel

$1000A+100B+100D+10E=100C$, waarbij het rechterlid voor alle waarden van A, B, C, D en E kleiner blijft dan het linkerlid, want voor de extreme waarden $C=9$ , $A=1$ en $B=D=E=0$ is het rechterlid nog steeds het kleinst.

$\frac{n}{m}=10$ blijft dus als enige mogelijkheid over,

$10m$ eindigt op een 0, dus $E= 0$,

nu eindigt $10m$ op twee nullen, dus ook $D= 0$

en als we dat ook doortrekken voor drie nullen is $C= 0$

Alle $n$ zijn dus van de vorm 10000A+1000B, waarbij A en B cijfers voorstellen en $A\neq0$