straal cirkel
Opgave - CanMO 1971 vraag 1
$DB$ is een koorde van een cirkel en $E$ is een punt op het lijnstuk $DB$ zodat $DE=3$ en $EB=5$ en zij $O$ het midden van de cirkel. Teken de halfrechte $OE$ met beginpunt $O$ en noem het snijpunt met de cirkel $C$. Als gegeven is dat $EC=1$, vind dan de straal van de cirkel.
- login om te reageren
Oplossing
We noemen het midden van de koorde DB M, dan geldt $R^2=|DM|^2+|MO|^2 =|MO|^2+16$ maar ook $(R-1)^2=|MO|^2+|ME|^2=|MO|^2+1$. De $2$ vergelijkingen van elkaar aftrekken levert $2R-1=15$ of $R=8$.
Noem $S$ het voetpunt van het apothema op koorde $DB$, en noem $r$ de straal van de cirkel. Er geldt dan dat $DS=SB=4$. Wegens pythagoras in driehoek $OSB$: $r^2=OS^2+16$
Ook wegens pythagoras in driehoek $OSE$: $(r-1)^2=OS^2+1$
Invullen van $OS$ in de eerste vergelijking geeft dat $r=8$.
We construeren het punt $M$, wat het midden van $[DB]$ is. We weten dat $|DB| = 8$, Hieruit volgt dat $|DM| = |MB| = 4$. Verder is $|EM| = 1$ ($|DB| - |MB| - |DE| = |EM| = 8 - 4 - 3 = 1$)
We construeren de driehoek $ODB$. Noem de straal van de cirkel $r$, $|OD| = |OB| = r$.
Ook construeren we driehoek $OMB$. Hoek $M = 90^\circ$ ($OM$ is de middelloodlijn van $[DB]$, want driehoek $OMD$ is congruent met driehoek $OMB$ (Zijde Zijde Zijde gelijk)).
In driehoek $OMB$ geldt: $|OD|^2 = |OM|^2 + |MD|^2$ (Pyth)
$\Rightarrow$ $r^2 = (r-x)^2 + 4^2$
We noemen $|OM| = r-x$, want we weten dat $|OM| < r$, en we nemen er dus een onbekende afstand $x$ van af.
We vinden -$16 = -2rx + x²$ (1)
Nu werken we in driehoek $OME$. We weten dat zijde $|OE| = r-1$, want $|OC| = r$, en $|OC| = |OE| + |EC| = |OE| + 1$ (gegeven)
$\Rightarrow$ $|OE| = r-1$
In driehoek OME geldt: $|OE|^2 = |OM|^2 + |EM|^2$
$\Rightarrow$ $(r-1)^2 = (r-x)^2 + 1^2$
$\Rightarrow$ $r^2-2r + 1 = r^2 -2rx + x^2 + 1$
$\Rightarrow$ $-2r = -2rx + x^2$
$\Rightarrow$ $-2r = -16$ (1)
$\Rightarrow$ $r = 8$
Q.E.D.