Zij $x,y$ twee positieve reële getallen, zodat $x+y=1$. Toon aan dat $$\left(1+\frac1x\right)\left(1+\frac1y\right)\geq9.$$
Cauchy zegt: $$(1+\frac{1}{x}) (1+\frac{1}{y}) \geq (1+\frac{1}{\sqrt{xy}})²$$
en omdat $\sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2}=\frac{1}{2}$, geldt dat: $$(1+\frac{1}{\sqrt{xy}})² \geq (1+2)²=9$$
Oplossing
Cauchy zegt: $$(1+\frac{1}{x}) (1+\frac{1}{y}) \geq (1+\frac{1}{\sqrt{xy}})²$$
en omdat $\sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2}=\frac{1}{2}$, geldt dat:
$$(1+\frac{1}{\sqrt{xy}})² \geq (1+2)²=9$$