regelmatige vijfhoek

a)
De oppervlakte is gelijk aan $z$ (hoogte1 + hoogte2 + ... + hoogte 5)/2 met de hoogtes de loodrechte projecties van $P$ op de zijden, want door de hoekpunten van de vijfhoek met $P$ te verbinden krijgen we $5$ driehoeken.. Noem die somvan de hoogtes $S$.
Dan is $A = z * S/2 \iff S = 2\frac{A}{z}$
Duidelijk is nu dat deze som $S$ constant blijft aangezien de oppervlakte van een vijfhoek in functie staat van z'n zijde (Oppervlakte regelmatige vijfhoek is $\frac{5z*a}{2}$ met $a$ de hoogte van een van de vijf congruente driehoekjes tot aan het midden van de vijfhoek, duidelijk is nu dat $S = 5a$)

b) Noem $M$ het midden van de vijfhoek die dus op een zijde kijkt met hoek ${360}/{5} = 72°$, dan is $z$ in functie van $r$ met behulp van de cosinusregel:
$z^2 = 2r^2 - 2r^2 * \cos72°$
Merk op dat de hoogte $a$ kan berekend worden met pythagoras in functie van $z$ en $r$:
$a^2 = r^2 - z^2/4$
$a^2 = r^2 - r^2/2 + r^2 * \cos72°/2$
$a^2 = r^2/2(1+cos(72°))$

$S =5a$
$S = 5r \sqrt{\frac{1+\cos(\frac{\pi}{5})}{2}}$