veelterm

Opgave - CanMO 1971 vraag 5

Zij
$$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_0$$
met $a_i\in\mathbb{Z}$. Als zowel $p(0)$ als $p(1)$ oneven zijn, toon dan dat $p(x)$ geen gehele wortels heeft.

Oplossing

Volgens het gegeven geldt $a_{0}=p(0) \equiv 1 \pmod{2}$ en $p(1) = \sum_{k=0}^{n} a_{i} = \sum_{k=1}^{n} a_{i} + a_{0} \equiv 1 \pmod{2}$ dus $\sum_{k=1}^{n} a_{i} \equiv 0 \pmod{2}$. Veronderstel uit het ongerijmde dat $x_0$ een gehele wortel van $p$ is, dus $p(x_{0})=0$. Stel eerst $x_0 = 0 \pmod{2}$. Dan $p(x_0)= a_0 \equiv 1 \pmod{2}$, hetgeen samen met $p(x_0) = 0$ een contradictie geeft. Stel tenslotte $x_0 = 1 \pmod{2}$. Dan $p(x_0) = \sum_{k=0}^{n} a_{i} (x_{0})^{i} \equiv \sum_{k=0}^{n} a_{i} \equiv 1 \pmod{2}$, wat dezelfde conclusie geeft. $\quad \blacksquare$