CanMO 1970
Vraag 1 Opgelost!
Vind alle drietallen $(x,y,z)$ zodanig dat wanneer één van deze getallen wordt toegevoegd aan het product van de twee andere, de uitkomst 2 is.
Vraag 2
Gegeven is een driehoek $ABC$ met stompe hoek $A$ en met lengtes $h$ en $k$ zoals opgegeven in de figuur. Bewijs dat $a+h\geq b+k$ en vind wanneer er gelijkheid optreedt.
Vraag 3 Opgelost!
Een verzameling van ballen is gegeven. Elke bal is rood of blauw gekleurd en er is op zijn minst van elke kleur één. Iedere bal weegt ofwel 1 ofwel 2 kilogram en er is op zijn minst van elk gewicht één. Bewijs dat er 2 ballen zijn met verschillend gewicht en verschillend kleur.
Vraag 4 Opgelost!
a) Vind alle natuurlijke getallen beginnend met het cijfer 6, zodanig dat als je die 6 schrapt, er nog 1/25e van het oorspronkelijk getal overblijft.
b) Toon aan dat er geen natuurlijk getal is zodanig dat na het schrappen van het eerste cijfer, het resterende getal 1/35e is van het oorpsronkelijke getal.
Vraag 5 Opgelost!
Een vierhoek heeft zijn vier hoekpunten allemaal op een verschillende zijde van een vierkant met zijde 1. Toon aan dat de lengtes van de zijden $a,b,c,d$ van de vierhoek voldoen aan de ongelijkheid
$$2\leq a^2+b^2+c^2+d^2\leq4$$
Vraag 6 Opgelost!
Gegeven zijn drie niet-collineaire punten $A,B,C$. Construeer een cirkel $C$ zodat de raaklijnen vanuit $A$ en $B$ aan de cirkel parallel lopen.
Vraag 7 Opgelost!
Toon aan dat van 5 al dan niet verschillende natuurlijke getallen men er altijd 3 kan van kiezen zodat hun som deelbaar is door 3.
Vraag 8
Beschouw alle lijnstukken van lengte 4, met beginpunt op de rechte met vergelijking $y=x$ en hun eindpunt op de rechte $y=2x$. Vind de meetkundige plaats van de middens van al die lijnstukken.
Vraag 9 Opgelost!
Zij $f(n)$ de som van de eerste $n$ termen van de rij
$$0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,...$$
a) Geef een formule voor $f(n)$.
b) Bewijs dat $f(s+t)-f(s-t)=st$, met $s$ en $t$ natuurlijke getallen en $s>t$.
Vraag 10 Opgelost!
Gegeven de veelterm
$$f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$$
met gehele coëfficiënten $a_1,a_2,...,a_n$ en het gegeven dat er vier verschillende natuurlijke getallen $a,b,c,d$ bestaan zodat
$$f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=5.$$
Toon aan dat er geen natuurlijk getal $k$ bestaat zodat $f(k)=8$.
