veelterm
Opgave - CanMO 1970 vraag 10
Gegeven de veelterm
$$f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$$
met gehele coëfficiënten $a_1,a_2,...,a_n$ en het gegeven dat er vier verschillende natuurlijke getallen $a,b,c,d$ bestaan zodat
$$f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=5.$$
Toon aan dat er geen natuurlijk getal $k$ bestaat zodat $f(k)=8$.
- login om te reageren
Oplossing
Noem $$p(x)=f(x)-5=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) q(x)$$ met $q(X)\in \mathbb{Z}[X]$, en de laatste gelijkheid volgt uit het feit dat $a,b,c,d$ nulpunten zijn van de functie $p$. Stel nu dat $f(x)-8=0$ oftewel $p(x)=3$ wel een oplossing heeft. Aangezien $3$ priem is, zal er precies één term in het product $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) q(x)$ $3$ zijn in absolute waarde, en alle andere termen zullen dan $\pm 1$ zijn. Merk nu op dat $x-a,\dots,x-d$ allen verschillend zijn dus kunnen er maar twee termen zijn gelijk aan $\pm 1$, één gelijk aan 3, maar dan hebben we altijd een vierde over, verschillend aan de drie vorige, contradictie. $\Box$
Opm: Het is niet moeilijk om dit te veralgemenen: voor alle $p(x)=q \Leftrightarrow f(x)=q+5$ met $q$ een priemgetal bestaat er geen oplossing.