rij

Merk op dat het n-de getal gegeven wordt door $\floor \frac{n}{2}$ dus als $n$ even is, wordt dit $\frac{n}{2}$ , als n oneven is $\frac{n-1}{2}$

(a) We bepalen de som in twee gevallen: stel dat $n$ oneven is, dan zitten we altijd op het tweede van twee gelijke getallen, dus moeten we twee maal de som nemen van alle getallen kleiner of gelijk aan het n-de getal. Dit wordt dan:

$f(n) = 2*\frac{( \frac{n-1}{2} ) \left ( \frac{n-1}{2}+1 \right ) }{2} = \left (\frac{n-1}{2}*\frac{n+1}{2} \right )
=\frac{n^2-1}{4}$

Als $n$ even is, moeten we enkel nog het n-de getal aftrekken van de som van de eerste $n+1$ getallen:

$f(n)=f(n+1)-\frac{n}{2} = \frac{(n+1)^2-1}{4}-\frac{2n}{4} = \frac{n^2}{4}$

Dit bewijst het eerste deel.

(b) Stel dat $s-t$ even is, dan is $s+t$ ook even. Het andere geval loopt volledig analoog.
dan is

$f(s+t)-f(s-t)=\frac{(s+t)^2}{4}-\frac{(s-t)^2}{4}=\frac{s^2+2st+t^2-s^2-t^s+2st}{4}
=st$

Dit is het te bewijzen.
**
in formulevorm is het volgende met inductie geldig:
$x_n = \lfloor{ \frac{n}{2} \rfloor}$
$f(n)=\lfloor{ \frac{n^2}{4} \rfloor}$
$\lfloor{ \frac{(s+t)^2}{4} \rfloor}-\lfloor{ \frac{(s-t)^2}{4} \rfloor}=st$