ongelijkheid
Opgave - CanMO 1970 vraag 5
Een vierhoek heeft zijn vier hoekpunten allemaal op een verschillende zijde van een vierkant met zijde 1. Toon aan dat de lengtes van de zijden $a,b,c,d$ van de vierhoek voldoen aan de ongelijkheid
$$2\leq a^2+b^2+c^2+d^2\leq4$$
- login om te reageren
Oplossing
Het is dankzij Pythagoras niet moeilijk na te gaan dat we moeten bewijzen dat $$2 \leq x^2+(1-x)^2 + y^2+(1-y)^2 + z^2+(1-z)^2 + t^2+(1-t)^2 \leq 4,$$
voor alle $1 \geq x,y,z,t \geq 0$, of equivalent $0 \leq x(1-x)+y(1-y)+z(1-z)+t(1-t) \leq 1$. Maar dat is triviaal, want $x(1-x) \geq 0$, want $0\leq x\leq 1$ en er geldt ook dat $x(1-x) = x - x^2 \leq \frac{1}{4}\ \Leftrightarrow\ \left(x-\frac{1}{2}\right)^2$: tel alles op en we zijn er.