APMC 2006

Dag 1

Vraag 1

Zij $S(n)=\left\{\left.\frac ab+\frac cd+\frac ef\right|\{a,b,c,d,e,f\}=\{n,n+1,\ldots,n+5\}\right\}$, en zij $\max S(n) = \frac{x}{u}+\frac{y}{v}+\frac{z}{w}=\frac{xvw+yuw+zuv}{uvw}$.

1. Bewijs dat voor oneven $n$ geldt dat $\text{ggd}(xvw+yuw+zuv, uvw)=1$ als en slechts als $\text{ggd}(x,u)=\text{ggd}(y,v)= \text{ggd} (z,w) =1$.
2. Voor welke gehele $n>0$ geldt dat $\text{ggd}(xvw+yuw+zuv, uvw)=1$?

[/]

Vraag 2

Vind alle reële veeltermen $P(x)$ die voldoen aan $$(x+1)^{3}P(x-1)-(x-1)^{3}P(x+1)=4(x^{2}-1) P(x)$$ voor alle $x\in\mathbb{R}$.

Vraag 3

Zij $ABCD$ een viervlak, met $K,M$ de centra van de ingeschreven cirkels van $\triangle CBD$ en $\triangle ABD$ respectievelijk, en $L,N$ de zwaartepunten van $\triangle DAC$ en $\triangle BAC$ respectievelijk. Als $AK,BL,CM,DN$ concurrent zijn, is $ABCD$ dan noodzakelijk regelmatig?

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Een geheel getal $d>0$ is mooi als voor alle gehele $x,y>0$ geldt dat $d|(x+y)^5-x^5-y^5\Leftrightarrow d|(x+y)^7-x^7-y^7$.

1. Is $29$ mooi?
2. Is $2006$ mooi?
3. Bewijs dat er oneindig veel mooie getallen zijn.

[/]

Vraag 2 Opgelost!

Zij $n>0$ een geheel getal. Bewijs dat vor alle $a,b,c>0$ geldt dat
$${\frac{a^{n+1}}{a^{n}+a^{n-1}b+\ldots+b^{n}}+\frac{b^{n+1}} {b^{n}+b^{n-1}c+\ldots+c^{n}}+\frac{c^{n+1}}{c^{n}+c^{n-1}a +\ldots+a^{n}}\ge \frac{a+b+c}{n+1}.}$$

Vraag 3

Zij $D$ een punt binnen driehoek $\triangle ABC$, en zij $\{D_c\}=AB\cap CD,\{D_b\}=BD\cap AC,\{D_a\}=AD\cap BC$. Bewijs dat er een driehoek $\triangle KLM$ bestaat met snijpunt van de hoogtelijnen en voetpunten van hoogtelijnen $H_k\in LM,H_l\in KM,H_m\in KL$ zodat volgende driehoeken gelijke oppervlaktes hebben:
$\triangle AD_{c}D$ en $\triangle KH_{m}H$,
$\triangle BD_{c}D$ en $\triangle LH_{m}H$,
$\triangle BD_{a}D$ en $\triangle LH_{k}H$,
$\triangle CD_{a}D$ en $\triangle MH_{k}H$,
$\triangle CD_{b}D$ en $\triangle MH_{l}H$,
$\triangle AD_{b}D$ en $\triangle KH_{l}H$.

Dag 3

Vraag 1

Vind alle gehele $m,n\ge0$ waarvoor $\sum^{2^m}_{k=1} \left\lfloor\frac{kn}{2^m}\right\rfloor \in\{28,20,30\}$.

Vraag 2

Zij $A\subset [0,1]$ een verzameling met $|A|\ge4$ en de eigenschap dat voor elke vier verschillende $a,b,c,d\in A$, ook $ab+cd\in A$. Toon aan dat $|A|$ oneindig veel elementen bevat.

Vraag 3

Op een $8\times8$ schaakbord liggen enkele $3\times1$ (en/of $3\times1$ tegels, deze mogen horizondtaal en verticaal verplaatst worden waar dit niet voor overlap zorgt. Een toestand noemt stabiel als geen enkele tegel verplaatst kan worden.

1. Vind het kleinste aantal vakjes dat moet bedekt zijn om een stabiele toestand te krijgen.
2. Bewijs dat er een stabiele toestand bestaat met slechts één vakje onbedekt.
3. Vind alle vakjes waarvoor er een stabiele toestand is met enkel dit vakje onbedekt.

[/]

Vraag 4

Zij $ABCDS$ een (niet noodzakelijk rechte) piramide met rechthoekig grondvlak $ABCD$ en vier scherphoekige driehoeken als zijvlakken. We beschouwen alle balken ingeschreven in deze piramide met basis in het vlak $ABCD$ en één hoekpunt in elk van de zijvlakken. Vind de meetkundige plaats van alle middelpunten van deze balken.