mooie getallen
Opgave - APMC 2006 dag 2 vraag 1
Een geheel getal $d>0$ is mooi als voor alle gehele $x,y>0$ geldt dat $d|(x+y)^5-x^5-y^5\Leftrightarrow d|(x+y)^7-x^7-y^7$.
- Is $29$ mooi?
- Is $2006$ mooi?
- Bewijs dat er oneindig veel mooie getallen zijn.
[/]
- login om te reageren
Oplossing
Als ik mij niet misrekend heb, is $$A_5(x,y)= (x+y)^5-x^5-y^5 = 5xy(x+y)(x^2+xy+y^2)$$en $$A_7(x,y)= (x+y)^7-x^7-y^7 = 7xy(x+y)(x^2+xy+y^2)^2$$Het is zodoende niet moeilijk in te zien dat alle priemgetallen verschillend van 5 en 7 mooi zijn. Immers: voor $p$ priem verschillend van 5 en 7 geldt: $$p|A_5(x,y)\ \Longleftrightarrow\ \left(p | x\ \vee\ p | y\ \vee\ p | (x+y)\ \vee\ p | x^2+xy+y^2\right)\ \Longleftrightarrow\ p|A_7(x,y).$$Vragen a en c zijn dus al opgelost.
Nu geldt dat $2006 | A_5(x,y)$ a.s.a. $2 | A_5(x,y)$, $17 | A_5(x,y)$ en $59 | A_5(x,y)$. Dit geldt wegens het voorgaande a.s.a. $2 | A_7(x,y)$, $17 | A_7(x,y)$ en $59 | A_7(x,y)$, i.e. $2006 | A_7(x,y)$, dus $2006 | A_5(x,y)\ \Leftrightarrow\ 2006 | A_7(x,y)$, i.e. 2006 is mooi.