ongelijkheid
Opgave - APMC 2006 dag 2 vraag 2
Zij $n>0$ een geheel getal. Bewijs dat vor alle $a,b,c>0$ geldt dat
$${\frac{a^{n+1}}{a^{n}+a^{n-1}b+\ldots+b^{n}}+\frac{b^{n+1}} {b^{n}+b^{n-1}c+\ldots+c^{n}}+\frac{c^{n+1}}{c^{n}+c^{n-1}a +\ldots+a^{n}}\ge \frac{a+b+c}{n+1}.}$$
- login om te reageren
Oplossing
We bewijzen eerst het volgende, zeer handige lemma:
Lemma: de functie $f(x)=\frac{1}{1+x+x^2+...+x^n}$ is convex over $\mathbb{R}^+$ voor alle natuurlijke $n$.
Bewijs: De tweede afgeleide wordt na wat onhandig rekenwerk (de functie herschrijven als $g(x)=\frac{x-1}{x^{n+1}-1}$, 2 keer afleiden en alle factoren $x-1$ terug schrappen uit teller en noemer) gegeven door $f''(x)=\frac{(n+1)x^{n-1}(nx^{n-1}+2(n-1)x^{n-2}+...+n)}{(1+x+x^2+...+x^n)^3}$, wat duidelijk positief is voor $x \ge 0$. Daarmee is het lemma bewezen.
Merk nu op dat wegens Jensen en het lemma geldt dat:
$\frac{a}{a+b+c} \frac{1}{1+\frac ba+(\frac ba)^2+...+(\frac ba)^n}+\frac{b}{a+b+c} \frac{1}{1+\frac cb+(\frac cb)^2+...+(\frac cb)^n} +\frac{c}{a+b+c} \frac{1}{1+\frac ac+(\frac ac)^2+...+(\frac ac)^n}$
$ \ge f(\frac{a}{a+b+c}\cdot \frac ba+\frac{b}{a+b+c}\cdot \frac cb+\frac{c}{a+b+c}\cdot \frac ac)=f(1)=\frac{1}{n+1}$. Q.E.D.