APMC 2001

Dag 1

Vraag 1

Bepaal het aantal natuurlijke getallen $a$ waarvoor er natuurlijke getallen $x_0,x_1,\ldots,x_{2001}$ die voldoen aan
$$a^{x_0}=\sum_{k=1}^{2001}a^{x_k}.$$

Vraag 2

Zij $n$ een natuurlijk getal groter dan 2, los dan volgend stelsel van vergelijkingen op in positieve reële getallen:
$$x_k+x_{k+1}=x_{k+2}^2,\ \ k=1,2,\ldots,n,$$
met $x_{n+1}=x_1$ en $x_{n+2}=x_2$.

Vraag 3 Opgelost!

$a,b,c$ zijn de lengtes van de zijden van een driehoek. Bewijs dat
$$2<\frac{a+b}c+\frac{b+c}a+\frac{c+a}b-\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\leq3.$$

Dag 2

Vraag 1

Bewijs dat als $a,b,c,d$ de lengtes van de opeenvolgende zijden van een vierhoek zijn (niet noodzakelijk convex), met een oppervlakte van $S$, dat dan de volgende ongelijkheid geldt:
$$S\leq\frac12(ac+bd).$$
Wanneer treedt gelijkheid op?

Vraag 2

De vakjes van een $8\times8$ schaakbord worden genummerd van 1 tot en met 64 op de volgende manier: Voor $i=1,2,\ldots,63$ kan het vakje genummerd door $i+1$ bereikt worden vanuit het vakje van $i$ door één beweging van een paard. Laten we positieve reële getallen $x_1,x_2,\ldots,x_{64}$ kiezen. Voor ieder wit vakje met het nummer $i$ definieëren we het getal $y_i=1+x_i^2-\sqrt[3]{x_{i-1}^2x_{i+1}}$ en voor ieder zwart vakje met het nummer $j$ definiëren we het getal $y_j=1+x_j^2-\sqrt[3]{x_{j-1}x_{j+1}^2}$ waar $x_0=x_{64}$ en $x_1=x_{65}$. Bewijs dat
$$\sum_{i=1}^{64}y_i\geq48.$$

Vraag 3

Zij $k$ een vast natuurlijk getal. Beschouw de rij gedefinieerd door
$$a_0=1,\ a_{n+1}=a_n+\left\lfloor\sqrt[k]{a_n}\right\rfloor,\ n=0,1,\ldots.$$
Vind voor iedere $k$ de verzameling $A_k$ die alle gehele waarden van de rij $(\sqrt[k]{a_n})_{n\geq0}$ bevat.

Dag 3

Vraag 1

Beschouw de verzameling $A$ die alle natuurlijke getallen bevat die geen 0 in hun decimale voorstelling hebben en waarvan de de som van de cijfers $S(N)|N$.
(i) Bewijs dat er oneindig veel elementen in $A$ zitten waarvan de decimale voorstelling ieder cijfer evenveel keer bevat als ieder ander cijfer.
(ii) Toon aan dat voor ieder natuurlijk getal $k$, er een element zit in $A$ dat precies $k$ cijfers telt.

Vraag 2

Het prisma met de regelmatige achthoek als basis en alle lengtes van de ribben gelijk aan 1 is gegeven. De punten $M_1,M_2,\ldots,M_{10}$ zijn de middens van alle zijvlakken van het prisma. Voor het punt $P$ van de binnenkant van het prisma, stel $P_i$ gelijk aan het snijpunt van de rechte $M_iP$ met de oppervlakte van het prisma (verschillend van $M_i$). Veronderstel dat het punt $P$ zodanig gekozen is dat geen enkele $P_i$ op een ribbe ligt en er op ieder zijvlak precies één $P_i$ ligt. Bewijs dat
$$\sum_{i=1}^{10}\frac{M_iP}{M_iP_i}=5.$$

Vraag 3

Zij $n>10$ een natuurlijk getal en $A$ een verzameling met $2n$ elementen. De familie $\{A_ii=1,2,\ldots,m\}$ van deelverzamelingen van $A$ wordt gepast genoemd als voldaan is aan volgende twee voorwaarden:
(i) voor iedere $i=1,2,\ldots,m$ bevat de verzameling $A_i$ precies $n$ elementen,
(ii) voor iedere $i\neq j\neq k\neq i$ bevat de verzameling $A_i\cap A_j\cap A_k$ maximum één element.
Bepaal voor iedere $n$ de lengte van een maximale gepaste familie.

Vraag 4

De rij $a_1,a_2,\ldots,a_{2010}$ heeft de volgende eigenschappen:
(i) iedere som van 20 opeenvolgende waarden van de rij is positief,
(ii) $|a_ia_{i+1}|\leq1$ voor $i=1,2,\ldots,2009$.
Bepaal de maximale waarde van $\displaystyle{\sum_{i=1}^{2010}a_i}$.