driehoeksongelijkheid

Tags:

APMC
Algebra & analyse
driehoek
ongelijkheid

Opgave - APMC 2001 dag 1 vraag 3

$a,b,c$ zijn de lengtes van de zijden van een driehoek. Bewijs dat

$2<\frac{a+b}c+\frac{b+c}a+\frac{c+a}b-\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\leq3.$

Oplossing inzenden

Oplossing

Ingediend door C|Debry

Linkerongelijkheid is equivalent met $2abc + a^3 + b^3 + c^3 < \sum_{\text{sym}} a^2b$ . Na Ravi-substitutie $a = x+y$ , $b = y+z$ , $c = z+x$ , is dit equivalent met $0 < 8xyz$ , hetgeen vrij evident is.

Rechterongelijkheid is equivalent met $\sum_{\text{sym}} a^2b \leq a^3+b^3+c^3+3abc$ , hetgeen Schur is.

Nederlandstalig olympiadeproject

driehoeksongelijkheid

Opgave - APMC 2001 dag 1 vraag 3

Oplossing

Zoeken

Random generator

Niveau