APMC 1999

Dag 1

Vraag 1

Zij $n$ een natuurlijk getal, vind dan het aantal geordende zestallen $(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6)$ die voldoen aan volgende eigenschappen:
(i) $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6$ zijn deelverzamelingen van $\{1,...,n\}$,
(ii) ieder element van $\{1,...,n\}$ hoort precies tot drie, zes of geen enkele deelverzameling $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6$.

Vraag 2 Opgelost!

Vind het grootste reële getal $C_1$ en het kleinste reële getal $C_2$ zodat voor alle reële getallen $a,b,c,d,e>0$ de volgende ongelijkheid geldt:
$$C_1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+e}+
\frac{e}{e+a}

Vraag 3

Zij $n\geq2$ een gegeven natuurlijk getal. Bepaal alle n-tallen van $n$ functies $(f_1,\ldots,f_n)$ waar $f_i\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ met $i=1,\ldots,n$ zodat voor alle $x,y\in\mathbb R$ de volgende gelijkheden opgaan:
$$f_1(x)-f_2(x)f_2(y)+f_1(y)=0$$
$$f_2(x^2)-f_3(x)f_3(y)+f_2(y^2)=0$$
$$\ldots$$
$$f_k(x^k)-f_{k+1}(x)f_{k+1}(y)+f_k(y^k)=0$$
$$\ldots$$
$$f_n(x^n)-f_1(x)f_1(y)+f_n(y^n)=0.$$

Dag 2

Vraag 1

Door een punt $P$ dat binnen de driehoek $ABC$ ligt worden drie rechten $k,l,m$ getekend zodat
(i) $k$ snijdt $AB$ en $AC$ in $A_1$ en $A_2$ respectievelijk ($A_1\neq A_2$) en $PA_1=PA_2$,
(ii) $l$ snijdt $BC$ en $BA$ in $B_1$ en $B_2$ respectievelijk ($B_1\neq B_2$) en $PB_1=PB_2$,
(iii) $m$ snijdt $CA$ en $CB$ in $C_1$ en $C_2$ respectievelijk ($C_1\neq C_2$) en $PC_1=PC_2$.
Bewijs dat de rechten $k,l,m$ uniek bepaald worden door deze drie voorwaarden. Vind het punt $P$ (en bewijs dat er precies één zo'n punt bestaat) waarvoor de driehoeken $AA_1A_2,BB_1B_2$ en $CC_1C_2$ dezelfde oppervlakte hebben.

Vraag 2

Een rij gehele getallen $(a_n)$ wordt recursief gedefinieerd door
$$a_{n+1}=a_n^3+1999, n=1,2,\ldots.$$
Bewijs dat er maximum één $n$ bestaat waarvoor $a_n$ een volkomen kwadraat is.

Vraag 3

Los het volgende stelsel van vergelijkingen op
$$x_n^2+x_nx_{n-1}+x_{n-1}^4=1,\ \ n=1,2,\ldots,1999$$
$$x_0=x_1999$$
in de verzameling van de positieve reële getallen.

Dag 3

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle koppels $(x,y)$ van natuurlijke getallen zodat
$$x^{x+y}=y^{y-x}.$$

Vraag 2

Zij $g$ een gegeven rechte en de drie punten $P,Q,R$ liggen allemaal aan dezelfde kant van de rechte $g$. De punten $M,N$ liggen op de rechte $g$ en voldoen aan $PM\bot g$ en $QN\bot g$. Het punt $S$ ligt tussen de rechten $PM$ en $QN$ en voldoet ook aan $PM=PS$ en $QN=QS$. De bissectrices van $SM$ en $SN$ snijden in het punt $R$. De rechte $RS$ snijdt de omgeschreven cirkel van de driehoek $PQR$ in $T\neq R$. Bewijs dat $S$ het midden is van het lijnstuk $RT$.

Vraag 3

Beschouw het volgende spel voor één speler. Een eindige verzameling van geselecteerde rasterpunten en eindige verzameling van geselecteerde lijnstukken wordt een positie in het spel genoemd als voldaan is aan volgende voorwaarden:
(i) de eindpunten van ieder geselecteerd lijnstuk zijn rasterpunten,
(ii) ieder geselecteerd lijnstuk is parallel met één van de coördinaatassen of de rechte $y=x$ of de rechte $y=-x$,
(iii) ieder geselecteerd lijnstuk bevat precies 5 rasterpunten en ieder is ook geselecteerd,
(iv) iedere twee geselecteerde lijnstukken hebben maximum één punt gemeen.
Een beweging in dit spel bestaat uit het selecteren van een rasterpunt en een lijnstuk zodat de nieuwe verzameling van geselecteerde rasterpunten en geselecteerde lijnstukken opnieuw een positie is. Bewijs of ontkracht de volgende bewering: er bestaat een beginpositie zodat het spel oneindig veel bewegingen heeft.