n functies

Opgave - APMC 1999 dag 1 vraag 3

Zij $n\geq2$ een gegeven natuurlijk getal. Bepaal alle n-tallen van $n$ functies $(f_1,\ldots,f_n)$ waar $f_i\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ met $i=1,\ldots,n$ zodat voor alle $x,y\in\mathbb R$ de volgende gelijkheden opgaan:
$$f_1(x)-f_2(x)f_2(y)+f_1(y)=0$$
$$f_2(x^2)-f_3(x)f_3(y)+f_2(y^2)=0$$
$$\ldots$$
$$f_k(x^k)-f_{k+1}(x)f_{k+1}(y)+f_k(y^k)=0$$
$$\ldots$$
$$f_n(x^n)-f_1(x)f_1(y)+f_n(y^n)=0.$$