vind alle koppels

We hebben dus $y=xk$ en $x^2 = k^{k-1}$ voor $x,y,k\in\mathbb{N}$.
Stel dat $k$ oneven is. Schrijf $k=2m+1$. We krijgen dat $x = \sqrt{(2m+1)^{2m}} = (2m+1)^m$ en dus $y=(2m+1)^{m+1}$.

Stel dat $k$ even is. Schrijf $k=2m$. We krijgen dat $x = \sqrt{(2m)^{2m-1}}$. Opdat $x\in\mathbb{N}$ moet dus $2m$ een volkomen kwadraat zijn. (Triviaal door de unieke priemfactorisatie van een getal!) Schrijf dus $2m = (2n)^2$. We krijgen dat $x = (2n)^{4n^2-1}$ en dus $y=(2n)^{4n^2+1}$.

We hebben dus de oplossingen $$(x,y)\in\left\{\left((2m+1)^{m},(2m+1)^{m+1}\right),\left((2m)^{4m^2-1},(2m)^{4m^2+1}\right)\ |\ m\in\mathbb{N}\right\}$$