Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › Midden-Europa › APMC › 1999 › ongelijkheid

ongelijkheid

Tags:

Opgave - APMC 1999 dag 1 vraag 2

Vind het grootste reële getal $C_1$ en het kleinste reële getal $C_2$ zodat voor alle reële getallen $a,b,c,d,e>0$ de volgende ongelijkheid geldt:

$$C_1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+e}+<br /> \frac{e}{e+a}<C_2.$$

Oplossing

Ingediend door Stijn C

We bewijzen dat $C_1=1$ en $C_2=4$ voldoen:

$$C_1=1=\frac{a+b+c+d+e}{a+b+c+d+e}=$$
$$\frac{a}{a+b+c+d+e}+\frac{b}{a+b+c+d+e}+\frac{c}{a+b+c+d+e}+\frac{d}{a+b+c+d+e}+\frac{e}{a+b+c+d+e}$$
$$<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{c+b}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+e}+\frac{e}{a+e}$$

De som is cyclisch dus mogen we wel stellen dat $e$ het kleinste getal is van de $5.$
Er geldt dat dan

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{c+b}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+e}+\frac{e}{a+e}\le\frac{a}{a+e}+\frac{b}{c+b}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+e}+\frac{e}{a+e}$$
$$=\frac{a+e}{a+e}+\frac{b}{c+b}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+e}=1+\frac{b}{c+b}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+e}<4=C_2$$

We bewijzen nu nog dat deze waarden respectievelijk de grootst mogelijke - en klein mogelijke waarde zijn:

Stel $a=bx=cx^2=dx^3=ex^4$, er geldt dat dan

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{a}{a+b}+\frac{b}{c+b}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+e}+\frac{e}{a+e} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{4x}{1+x}+\frac{1}{1+x^4}}=1$$
$$\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{a}{a+b}+\frac{b}{c+b}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+e}+\frac{e}{a+e} = \lim_{x\rightarrow\infty} 4\frac{x}{1+x}+\frac{1}{1+x^4}}=4$$

Dit bewijst dat er geen betere waarden voor $C_1$ en $C_2$ te vinden zijn.

Merk op dat dit snel te veralgemenen valt tot een som met $n$ variabelen, de grenswaarden zullen dan $1$ en $n-1$ zijn met een mogelijk analoog bewijs.