APMC 1997

Dag 1

Vraag 1

De rechten $l_1$ en $l_2$ snijden in het punt $P$. Cirkels $S_1$ en $S_2$ raken uitwendig in $P$, en de rechte $l_1$ is hun gemeenschappelijke raaklijn in dit punt. Analoog zijn $T_1$ en $T_2$ cirkels die uitwendig raken in $P$ en $l_2$ is hun gemeenschappelijke raaklijn in dit punt. De cirkels $S_1$ en $T_1$ snijden elkaar in $P$ en $A$, $S_1$ en $T_2$ in $P$ en $B$, $S_2$ en $T_2$ in $P$ en $C$ en $S_2$ en $T_1$ in $P$ en $D$. Bewijs dat de punten $A,B,C,D$ op een cirkel liggen als en slechts als $l_1\bot l_2$.

Vraag 2

Gegeven is een $m\times n$ schaakbord. Aan ieder veld wordt een paar coördinaten $(x,y)$ met $1\leq x\leq m$ en $1\leq y\leq n$ toegewezen. Zij $p$ en $q$ natuurlijke getallen. Een pion die op het veld $(x,y)$ staat mag naar het veld $(x',y')$ verplaatst worden als en slechts als $|x-x'|=p$ en $|y-y'|=q$. Er staat een pion op ieder veldje. We willen iedere pion verplaatsen op hetzelfde moment zodanig dat na de verplaatsing er nog op ieder veldje precies 1 pion staat. Op hoeveel manieren kan dit gedaan worden?

Vraag 3 Opgelost!

Op het bord worden $97$ rationale getallen op het bord geschreven: $48,24,16,\ldots,48/97$. In iedere stap verwijderen we de cijfers $a$ en $b$ van het bord en schrijven $2ab-a-b+1$ in de plaats. Na 96 stappen zal er nog precies 1 getal $n$ overschieten. Bepaal de verzameling van alle mogelijke getallen $n$.

Dag 2

Vraag 1

In een convexe vierhoek $ABCD$ zijn de zijden $AB$ en $CD$ parallel. De diagonalen $AC$ en $BD$ snijden elkaar in $E$. $F$ is het snijpunt van de hoogtelijnen van driehoek $EBC$ en $G$ is het snijpunt van de hoogtelijnen van driehoek $EAD$. Bewijs dat het midden van $GF$ op de rechte door $E$ loodrecht op $AB$ ligt.

Vraag 2

Zij $p_1,p_2,p_3,p_4$ vier verschillende priemgetallen. Bewijs dat er geen veelterm $Q(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ met gehele coëfficiënten bestaat zodat
$$|Q(p_1)|=|Q(p_2)|=|Q(p_3)|=|Q(p_4)|=3.$$

Vraag 3 Opgelost!

Bewijs dat er geen functie $f\mathbb Z\rightarrow\mathbb Z$ bestaat zodat $f(x+f(y))=f(x)-y$ voor alle gehele getallen $x,y$.

Dag 3

Vraag 1 Opgelost!

(i) Bewijs dat voor alle reële getallen $p,q$ de volgende ongelijkheid geldt:
$$p^2+q^2+1>p(q+1).$$
(ii) Bepaal de grootste reële waarde voor $b$ zodat voor alle reële $p,q$ de volgende ongelijkheid geldt:
$$p^2+q^2+1\geq bp(q+1).$$
(iii) Bepaal de grootste reële waarde voor $c$ zodat voor alle natuurlijke getallen $p,q$ de volgende ongelijkheid geldt:
$$p^2+q^2+1\geq cp(q+1).$$

Vraag 2

Zij $n$ een natuurlijk getal en $M$ een verzameling van $n$ elementen. Bepaal het grootste natuurlijk getal $k$ met de volgende eigenschappen: Er bestaat een rij $K$ van $k$ elementen bestaande uit deelverzamelingen van 3 elementen van $M$, zodat elke twee verzamelingen die tot $K$ behoren een niet-lege doorsnede hebben.

Vraag 3

Gegeven is een parallellepipedum $P$ en zij $V_P$ zijn volume, $S_P$ zijn totale oppervlakte en $L_P$ de som van de lengtes van zijn zijden. Voor een reële $t\geq0$, zij $P_t$ het ruimtelichaam van alle punten $X$ waarvan de afstand tot $P$ niet groter is dan $t$. Bewijs dat het volume van $P_t$ gegeven wordt door de formule
$$V(P_t)=V_P+S_Pt+\frac\pi4L_Pt^2+\frac{4\pi}3t^3.$$