rationale getallen
Opgave - APMC 1997 dag 1 vraag 3
Op het bord worden $97$ rationale getallen op het bord geschreven: $48,24,16,\ldots,48/97$. In iedere stap verwijderen we de cijfers $a$ en $b$ van het bord en schrijven $2ab-a-b+1$ in de plaats. Na 96 stappen zal er nog precies 1 getal $n$ overschieten. Bepaal de verzameling van alle mogelijke getallen $n$.
- login om te reageren
Oplossing
Zij $a$ het getal dat overblijft. Zij $V_k$ de verzameling van getallen die na $k$ stappen nog op het bord staat. Het is duidelijk dat $\prod_{t \in V_k} (2t - 1)$ invariant en dus onafhankelijk van $k$ is. Dus $\prod_{t \in V_{0}} (2t - 1) = \prod_{t \in V_{96}} (2t - 1) = 2a - 1$ en het overblijvende getal is $a = \frac{1}{2}\left(1 + \prod_{t \in V_0} (2t - 1)\right)$, en dat geeft $a = \frac12$ omdat $\frac12 \in V_0$, dus $\prod_{t \in V_0} (2t - 1) = 0$.
Dit kon eenvoudiger, zonder die invariant (omdat $\frac12$ voorkomt tussen de gegeven getallen) maar bovenstaande manier is iets algemener dan een oplossing waar expliciet gebruik wordt gemaakt van het feit dat $\frac12$ een van de gegeven getallen is.