functievergelijking

Opgave - APMC 1997 dag 2 vraag 3

Bewijs dat er geen functie $f\mathbb Z\rightarrow\mathbb Z$ bestaat zodat $f(x+f(y))=f(x)-y$ voor alle gehele getallen $x,y$.

Oplossing

Als $f(a) = f(b)$, dan is $a = f(x)-f(x+f(a)) = f(x)-f(x+f(b)) = b$, dus $f$ is injectief.

Stel $x = 0$: $f(f(y)) = -y$, voor alle gehele $y$. Dus $f(-y) = f(f(f(y))) = -f(y)$, dus $f$ is oneven.

Stel nu $y = f(-z)$ in de oorspronkelijke vergelijking: $$f(x+z) = f(x+f(y)) = f(x)-f(-z) = f(x)+f(z).$$ Per inductie is dan $f(n) = nf(1)$ voor alle $n\in\mathbb{N}$ en aangezien $f$ oneven is, is dit ook geldig voor alle $n\in\mathbb{Z}$. Maar dan moet $-n = f(f(n)) = f(nf(1)) = n\left(f(1)\right)^2$, i.e. $f(1) = \pm i$. Daar lachen we eens goed mee! :razz: