ongelijkheid

Opgave - APMC 1997 dag 3 vraag 1

(i) Bewijs dat voor alle reële getallen $p,q$ de volgende ongelijkheid geldt:
$$p^2+q^2+1>p(q+1).$$
(ii) Bepaal de grootste reële waarde voor $b$ zodat voor alle reële $p,q$ de volgende ongelijkheid geldt:
$$p^2+q^2+1\geq bp(q+1).$$
(iii) Bepaal de grootste reële waarde voor $c$ zodat voor alle natuurlijke getallen $p,q$ de volgende ongelijkheid geldt:
$$p^2+q^2+1\geq cp(q+1).$$

Oplossing

Let's bash this ugly problem.

Eerst bewijzen we de ongelijkheid $$p^2+q^2+1 \geq \sqrt{2}p(q+1)$$voor alle reële getallen $p,q$. Herschrijf deze ongelijkheid tot een kwadratische ( :???: ) in $p$: $p^2 - \sqrt{2}(q+1)p + (q^2+1) \geq 0$. Hiervoor moet natuurlijk $\Delta = 2(q+1)^2 - 4(q^2+1) = -2(q^2-2q+1) \leq 0$, i.e. $\left(q-1\right)^2 \geq 0$. Dit is natuurlijk altijd waar, dus we zijn klaar.

Nu geldt er dus dat $$p^2+q^2+1 \geq \sqrt{2}p(q+1) > p(q+1),$$dus is (a) bewezen. En hey, als $(p,q) = \left(\sqrt{2},1\right)$, dan is $p^2+q^2+1 = 4 = \sqrt{2}p(q+1)$, dus is $\sqrt{2}$ de grootste reële waarde van $b$ in (b). Twee vliegen in één klap.

Nu nog (c). Intuïtief kunnen we aanvoelen dat $p^2+q^2+1 - cp(q+1)$ het kleinst zal zijn als $p=q=1$, dus laten we bewijzen dat $c=\frac{3}{2}$ de grootste reële waarde is die $c$ kan aannemen. We moeten dus bewijzen dat $p^2-\frac{3}{2}(q+1)p+q^2+1 \geq 0$. Daartoe moet natuurlijk $\Delta = \frac{9}{4}(q+1)^2 - 4(q^2+1) \leq 0$, i.e. $7q^2-18q+7 = 7\left(\left(q-\frac{9}{7}\right)^2-\frac{32}{49}\right)\geq 0$. Dit geldt overduidelijk voor $q \geq 3$, dus we hoeven enkel de ongelijkheid te checken voor $q=1,2$.
Voor $q=1$ moeten we bewijzen dat $p^2 - 3p + 2 = (p-1)(p-2)\geq 0$, wat natuurlijk waar is. (De ongelijkheid is onwaar als $p\in\left]1,2\right[$, maar daar zitten geen natuurlijke getallen in.)
Voor $q=2$ moeten we bewijzen dat $p^2 - \frac{9}{2}p + 5 = \left(p-\frac{9}{4}\right)^2-\frac{1}{16}\geq 0$, wat natuurlijk waar is als $p\in\mathbb{N}$. (Eventueel manueel checken als ge tijd zat hebt: ge hebt gelijkheid als $p=2$ :lol: )