APMC 1993
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
Vind alle natuurlijke getallen $m,n$ zodat $2^m-3^n=7$.
Vraag 2
Vind alle viervlakken $ABCD$ zodat de oppervlakte van $ABD$ + de oppervlakte van $ACD$ + de oppervlakte van $BCD$ kleiner of gelijk is aan 1 en het volume van het viervlak maximaal is.
Vraag 3
Definieer $f\mathbb N\rightarrow\mathbb N$ als $f(n)=n+1$ als $n$ een natuurlijke macht is van een priemgetal en $f(n)=w_1+w_2+\cdots+w_k$ wanneer $n$ een product is van de coprieme machten $w_1,w_2,\ldots,w_k$. Bijvoorbeeld $f(12)=7$. Vind de kleinste term van de (oneindige) rij $m,f(m),f(f(m)),f(f(f(m))),\ldots$.
Dag 2
Vraag 1 Opgelost!
De natuurlijke getallen $a$ en $b$ zijn zodanig gekozen dat $a^{19}|b^{93}$ en $b^{19}|a^{93}$. Toon aan dat als $h Vind alle reële oplossingen voor Toon aan dat voor positieve reële $x,y$ geldt dat Zij $a_0 = 0$ en $a_{n + 1} = \left\lfloor\sqrt[3]{a_n + n}\right\rfloor^3$ voor $n\ge1$. Geef een expliciete formule voor $a_n$ (in functie van $n$) en bepaal alle $n$ waarvoor $a_n = n$. Vind alle reële veeltermen $p(x)$ zodat er een unieke reële veelterm $q(x)$ bestaat en $ABC$ is een gelijkzijdige driehoek. Neem op de rechte $AB$ een punt $P$ zodat $A$ tussen $P$ en $B$ ligt. Zij $r$ de straal van de ingeschreven cirkel van $PAC$ en $r'$ de buitenstraal van driehoek $PBC$ tegenover $P$. Vind $r+r'$ in termen van de lengte van de zijde $a$ van driehoek $ABC$ (met buitenstraal bedoelen we de straal van de cirkel die geconstrueerd wordt zodanig dat hij raakt aan de verlengden van $PB$ en $PC$ en ook aan de buitenkant van zijde $BC$).Vraag 2 Opgelost!
$$x^3+y=3x+4$$
$$2y^3+z=6y+6$$
$$3z^3+x=9z+8.$$Vraag 3 Opgelost!
$$\left(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{2} \right)^2\leq\frac{x+\sqrt[3]{x^2y}+\sqrt[3]{xy^2}+y}4\leq\frac{x+ \sqrt{xy}+y}3\leq\sqrt{\left(\frac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x^2}}2 \right)^3}$$Dag 3
Vraag 1 Opgelost!
Vraag 2
(i) $q(0)=0$,
(ii) $x+q(y+p(x))=y+q(x+p(y))$ voor alle reële $x,y$.Vraag 3
