Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › Midden-Europa › APMC › 1993 › ongelijkheid

ongelijkheid

Tags:

Opgave - APMC 1993 dag 2 vraag 3

Toon aan dat voor positieve reële $x,y$ geldt dat

$$\left(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{2} \right)^2\leq\frac{x+\sqrt[3]{x^2y}+\sqrt[3]{xy^2}+y}4\leq\frac{x+ \sqrt{xy}+y}3\leq\sqrt{\left(\frac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x^2}}2 \right)^3}$$

Oplossing

Ingediend door C|Debry

Waarschijnlijk moest het zo zijn:

Toon aan dat voor positieve reële $x,y$ geldt dat

$$\left(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{2} \right)^2\leq\frac{x+\sqrt[3]{x^2y}+\sqrt[3]{xy^2}+y}4\leq\frac{x+ \sqrt{xy}+y}3\leq\sqrt{\left(\frac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}}2 \right)^3}$$

Anders zou de eerste ongelijkheid al niet kloppen. (Neem $y\to 0$.)

Ongelijkheid 1. Equivalent met $2\sqrt{xy} \leq \sqrt[3]{x^2y}+\sqrt[3]{xy^2}$. Dit is AM-GM op $\left(\sqrt[3]{x^2y},\sqrt[3]{xy^2}\right)$.

Ongelijkheid 2. Equivalent met $3\sqrt[3]{x^2y}+3\sqrt[3]{xy^2} \leq x+y+4\sqrt{xy}$. Dit is AM-GM op $\left(x,\sqrt{xy},\sqrt{xy}\right)$ en $\left(y,\sqrt{xy},\sqrt{xy}\right)$.

Ongelijkheid 3. Schrijf $\sqrt[6]{x} = a$ en $\sqrt[6]{y} = b$, dan willen we bewijzen dat

$$\begin{aligned} & \frac{a^6+a^3b^3+b^6}{3} \leq \sqrt{\left(\frac{a^4+b^4}{2}\right)^3} \\ & \Longleftrightarrow\ \frac{a^{12}+a^6b^6+b^{12}+2a^9b^3+2a^3b^9+2a^6b^6}{9} \leq \frac{a^{12}+3a^8b^4+3a^4b^8+b^{12}}{8} \\ & \Longleftrightarrow\ a^{12}+27a^8b^4+27a^4b^8+b^{12} \geq 24a^6b^6+16a^9b^3+16a^3b^9\end{aligned}$$

En dan zit ik eventjes vast...Iemand? :razz:

Ingediend door Peter

Opgave verbeterd.

Voor de derde: Als je goed kijkt zie je dat $x+\sqrt{xy}+y = \frac{\sqrt{x}^3-\sqrt{y}^3}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$.

In je $a,b$-notatie geeft dat dus $8 (a^9-b^9)^2\le 9 (a^4+b^4)^3 (a^3-b^3)^2$, Maar $2(a^4+b^4)^3\ge(a^3+b^3)^4$, dus als je kunt aantonen dat $4(a^9-b^9)\le 3(a^3+b^3)^2(a^3-b^3)$ (voor $a\ge b$) dan ben je er. En dat zou moeten lukken he. ;)