entier

Stel $k_{n+1}=\left\lfloor\sqrt[3]{a_n + n}\right\rfloor$, waarbij $a_n=k_n^3$.

Dan geldt dat $k_0=k_1=0$ en $k_2=1$.

Voor $k\ge 1$, geldt dat $k_n=k$ voor $ 3k^2-3k+2 \le n \le 3k^2+3k+1$.

bewijs

Voor $n=2$ hebben we al gezegd dat $k_n=1$.

Vervolgens geldt dat $k_{n+1}=\left\lfloor\sqrt[3]{a_n + n}\right\rfloor =\left\lfloor\sqrt[3]{1^3 + n}\right\rfloor \ge 2$ asa $n \ge 7$.
Dit toont aan dat $k_n=1$ voor $2 \le n \le 7$, zoals gewenst.

We bewijzen de uitspraak nu per inductie.

IH Voor $M>k\ge 1$, geldt dat $k_n=k$ voor $ 3k^2-3k+2 \le n \le 3k^2+3k+1$.

We bewijzen de uitspraak nu voor $k=M$.

Merk op dat $3M^2-3M+2 = [3(M-1)^2+3(M-1)+1] +1$, zodat dit de eerst volgende waarde is die we moeten controleren.
Er geldt dat $k_{3M^2-3M+2}= \left\lfloor\sqrt[3]{(M-1)^3+3M^2-3M+1}\right\rfloor=M$ en voor $3M^2-3M+2$<$N$<$ 3M^2+3M+1$ geldt $k_{N}= \left\lfloor\sqrt[3]{M^3+N}\right \rfloor=M$.

Het is nu eenvoudig te zien dat een expleciete formule voor $a_n$ gegeven is door $ \lfloor \sqrt{\frac{n-1}{3}}+0.5 \rfloor$.

deel 2
We zoeken de waarden $n$ waarvoor $a_n=n$.
Omdat $a_n=k_n^3$, zal $n$ zeker een derdemacht moeten zijn.
Duidelijk voldoen $n=0,1,8,27$.
Dit zijn de enige waarden die werken.
bewijs
Merk op dat $f(x)=x^3-3x^2-3x-1$ een positieve afgeleide $f'(x)=3x^2-6x-3=3(x-1)^2-6$ heeft voor $x\ge 4$ en ook $f(4)>0$.
Dit betekent dat voor $n =m^3$ met $m\ge 4$, $n=m^3>3m^2+3m+1$ zodat $k_n>m$ en dus $a_n>n$.