vind alle m,n

Omdat $2^m-7 = 3^n \geq 1$ geldt er dat $m\geq 3$. Hierdoor zal $2^m \equiv 0\mod{8}$. Duidelijk is $(m,n)=(3,0)$ een oplossing, dus stel vanaf nu $n>0$, i.e. $3^n \equiv 0 \mod{3}$. Beschouw modulo 8 om te krijgen dat $3^n \equiv 1 \mod{8}$. Dit impliceert natuurlijk dat $n$ even is. Schrijf dus $n=2k$. We krijgen nu de vergelijking $2^{m} - 9^k = 7$, die we nu modulo 9 beschouwen om te krijgen dat $2^{m} \equiv 7\mod{9}$.

Aangezien volgens de kleine stelling van Fermat er geldt dat $2^6 \equiv 1 \mod{9}$, moeten we $m$ enkel modulo 6 bekijken. Maar $\left(2^0,2^1,2^2,2^3,2^4,2^5\right)\equiv(1,2,4,8,7,5)\mod{9}$, zodat er moet gelden dat $m \equiv 4\mod{6}$, i.e. $m = 6l+4$ met $l\in\mathbb{N}$.

We hebben nu dus dat $7 = 2^{6l+4} - 9^k = \left(2^{3l+2}\right)^2 - \left(3^k\right)^2 = \left(2^{3l+2}-3^k\right)\left(2^{3l+2} + 3^k\right)$, waarbij $m=6l+4$ en $n=2k$. Maar $2^{3l+2}-3^k\in\mathbb{Z}$, dus $2^{3l+2}+3^k \in \{-7,-1,1,7\}$. Echter, $2^{3l+2}+3^k \geq 2^{3\cdot 0+2}+3^0 = 5$, dus moet $2^{3l+2}+3^k = 7$ en $2^{3l+2}-3^k = 1$. Optellen levert op dat $2\cdot 2^{3l+2} = 8$, dus $l=0$, dus $k=1$ en dus $(m,n) = (4,2)$.

Bijgevolg moet dus $$(m,n) \in\left\{(3,0),(4,2)\right\}$$[/]