APMC 1992

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Gegeven een natuurlijk getal $n$, dan noteren we met $s(n)$ de som van alle positieve delers van $n$. Toon aan dat tenminste één van $s(n),s(n+1),s(n+2)$ even is.

Vraag 2

Ieder punt op de omtrek van een vierkant moet met één van $n$ kleuren gekleurd worden. Vind de kleinst mogelijke $n$ zodat we de punten zodanig kunnen kleuren dat er geen rechthoekige driehoek kan gevormd worden met punten van dezelfde kleur.

Vraag 3 Opgelost!

Toon aan dat voor alle reële $x,y,z$ geldt dat
$$2\sqrt{xy+yz+zx}\leq\sqrt3\sqrt[3]{x+y}\sqrt[3]{y+z}\sqrt[3]{z+x}.$$

Dag 2

Vraag 1

De kubische vergelijking $x^3+ax^2+bx+c$ heeft wortels $uv,u^k,v^k$, met $u,v\in\mathbb R$ en $k\in\mathbb N$. Toon aan dat als $a,b,c$ rationaal zijn en $k=2$, dat dan $uv$ rationaal is. Is hetzelfde waar als $k=3$?

Vraag 2

$K$ is een punt op de diameter $AB$ van cirkel $C$ dichter bij $A$ dan bij $B$. $CD$ is een variabele koorde door $K$. De rechten $BC$ en $BD$ snijden de raaklijn aan $A$ in $P$ en $Q$ respectievelijk. Toon aan dat $AP\cdot AQ$ constant is.

Vraag 3

Bestaat er een functie $f\mathbb Z\rightarrow\mathbb Z$ zodat
(i) $\{1,2,4,23,92\}\in f\left(\mathbb Z\right)$,
(ii) $f(92+n)=f(92-n)$ voor alle $n$,
(iii) $f(1748+n)=f(1748-n)$ voor alle $n$,
(iv) $f(1992+n)=f(1992-n)$ voor alle $n$?

Dag 3

Vraag 1

Aan welke voorwaarden moeten de hoeken van een driehoek $ABC$ voldoen als er een punt $X$ bestaat in de ruimte zodat de hoeken $AXB,BXC,CXA$ alledrie $90^\circ$ zijn? Als zo'n punt $X$ bestaat, stel dan $d=\max(XA,XB,XC)$ en stel $h=\max(|AX|,|BX|,|CX|)$, toon dan aan dat $\displaystyle{\sqrt{\frac23}h\leq d\leq h}$.

Vraag 2

$x_1,x_2,\ldots,x_n$ zijn reële getallen verschillend van 0 met som $s$, zodat $\displaystyle{\frac{s-2x_1-2x_2}{x_1}=\frac{s-2x_2-2x_3}{x_2}= \cdots=\frac{s-2x_{n-1}-2x_n}{x_{n-1}}=\frac{s-2x_n-2x_1}{x_n}}$. Welke mogelijke waarden kan $\displaystyle{\frac{(s-x_1)(s-x_2)\ldots(s-x_n)}{x_1x_2\ldots x_n}}$ aannemen?

Vraag 3

$n$ is een natuurlijk getal groter dan 1. Een woord is een rij $X_1,X_2,\ldots,X_{2n}$ van $2n$ symbolen, waarvan er $n$ $A$ zijn en $n$ $B$. Zij $r(n)$ het aantal woorden zodat er slechts één van de rij $X_1,X_2,\ldots,X_k$ een gelijk aantal $A$'s en $B$'s heeft (namelijk de rij met $k=2n$). Zij $s(n)$ het aantal woorden zodat slechts twee van de rij een gelijk aantal $A$'s als $B$'s hebben. Vind $s(n)/r(n)$.