som der positieve delers

Als de som van de delers even is, moet slechts de som van de oneven delers even zijn, en moet er dus een even aantal oneven delers zijn.
Neem $n=2^t*{p_1}^{e_1}*{p_2}^{e_2}*....$ waarbij $p_k$ de oneven priemfactoren zijn en $e_k$ hun exponent in de priemontbinding.
Het aantal oneven delers is nu $(e_1+1)*(e_2+1)*...$.
Als $n$ een getal is waarvoor $s(n)$ even is, dan moet minstens één van $e_1,e_2,...$ oneven zijn.
In het andere geval, waar $s(n)$ oneven is, moeten $e_1,e_2,...$ allemaal even zijn.
Dan komt elke priemfactor behalve $2$ noodzakelijk tot een even macht voor, en is $n$ dus een kwadraat of het dubbele van een kwadraat. Dit geldt dus ook voor $n+1$ en $n+2$.
Nu volstaat het om te bewijzen dat het onmogelijk is, dat bij geen van de drie getallen de som der delers even is, of dus dat het onmogelijk is dat alle drie de getallen kwadraten of het dubbele van een kwadraat zijn.
Omdat $n,n+2$ dezelfde pariteit hebben en $n+1$ de andere, zijn de eerste $2$ het dubbel van een kwadraat of beide een kwadraat (en $n+1$ het andere terug) .
$x^2-y^2=2$ of $1$ is telkens onmogelijk. als $x,y\ge 1.$