ongelijkheid
Opgave - APMC 1992 dag 1 vraag 3
Toon aan dat voor alle reële $x,y,z$ geldt dat
$$2\sqrt{xy+yz+zx}\leq\sqrt3\sqrt[3]{x+y}\sqrt[3]{y+z}\sqrt[3]{z+x}.$$
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 1 gast online.
Oplossing
Haha. Hop, alles tot de zesde macht, beetje uitwerken, beetje herschrijven, en we bekomen de equivalente ongelijkheid $5[3,3,0] + 19[2,2,2] + 30[3,2,1] \leq 27[4,2,0] + 27[4,1,1]$, hetgeen triviaal is dankzij Muirheid. :grin: (Vierkante haakjes stellen symmetrische sommen voor.)
Alternatieve oplossing: WLOG $x+y+z=1$. Dan staat er na kwadrateren $4(xy+yz+zx)=LHS\ge RHS = 3\left((1-z)(1-x)(1-y)\right)^{2/3} = 3\left(xy+yz+zx-xyz\right)^{2/3}$.
Noteren we $R=xy+yz+zx$ en $P=xyz$ (waaruit $\tfrac13\ge R\ge9P$), dan is het te bewijzen (na tot de derde macht verheffen en met $3$ vermenigvuldigen) dat $3\cdot 64R^3\le 81 (R-P)^2$. Dit kan netjes zonder rekenwerk: $9(R-9P)^2\ge0$, $64R^2(1-3R)\ge0$ en $8(R^2-81P^2)\ge0$ optellen geeft het gevraagde.