APMC 1981
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
Vind het kleinste natuurlijk getal $n$ waarvoor we 15 verschillende elementen $a_1,...,a_{15}$ kunnen vinden in de verzameling $\{16,17,...,n\}$ zodat elke $a_k$ een geheel veelvoud is van $k$.
Vraag 2
De rationale rij $a_0,a_1,a_2,...$ voldoet aan het voorschrift $a_{n+1}=2a_n^2-2a_n+1$. Vind alle $a_0$ waarvoor er vier verschillende natuurlijke getallen $r,s,t,u$ bestaan waarvoor geldt dat $a_r-a_s=a_t-a_u$.
Vraag 3
De tekening toont een driehoek $ABC$ met ingeschreven cirkel $K$ en straal $r$ en nog drie kleinere cirkels die elk raken aan $K$ en aan twee zijden van de driehoek en met stralen $r_A,r_B,r_c$. Toon aan dat $r_A+r_B+r_C\geq r$, met gelijkheid als $ABC$ gelijkzijdig is.
Dag 2
Vraag 1 Opgelost!
$n$ symbolen worden in een cirkel geschikt en ieder symbool is ofwel 1 ofwel 0. Een legale beweging wordt gedefinieerd als het veranderen van een 1 in een 0, en de beide buren ook te veranderen (eventueel van 0 naar 1). Bijvoorbeeld kan je $...01101...$ veranderen naar $...10001...$. Als de beginsituatie precies één 1 heeft, voor welke waarden van $n$ kan je dan alle symbolen in een 0 omzetten met een eindig aantal legale bewegingen.
Vraag 2
Een vierdegraadsvergelijking met rationale coëfficiënten heeft precies één reële wortel. Toon aan dat de wortel rationaal moet zijn.
Vraag 3
De reële rijen $x_1,x_2,x_3,...,y_1,y_2,y_3,...z_1,z_2,z_3,...$ voldoen aan $x_{n+1}=y_n+\frac1{z_n},y_{n+1}=z_n+\frac1{x_n},z_{n+1}=x_n +\frac1{y_n}$. Toon aan dat al deze rijen begrensd zijn.
Dag 3
Vraag 1
Als $N=2^n>1$ en $k>3$ is oneven, toon dan aan dat $k^N-1$ op zijn minst $n+1$ verschillende priemfactoren heeft.
Vraag 2
$A$ is een verzameling van $a$ parallelle rechten, $B$ is een verzameling van $b$ parallelle rechten en $C$ is een verzameling van $c$ parallelle rechten. Wat is de kleinste waarde van $a+b+c$ zodat de $a+b+c$ rechten het vlak verdelen in op zijn minst 1982 gebieden?
Vraag 3 Opgelost!
Zij $f[0,1]\rightarrow[0,1]$ een functie en definieer $f^1(x)=f(x),f^{n+1}=f(f^n(x))$. Voor een bepaalde $n$ hebben we dat $|f^n(x)-f^n(y)|<|x-y|$ voor alle reële $x,y\in[0,1]$. Toon aan dat $f$ een uniek fixpunt bevat.
