fixpunt (een punt waarvoor f(x)=x)

De voorwaarde moet waarschijnlijk zijn dat de ongelijkheid geldt voor alle $x,y \in [0,1]$ met $x \neq y$?

Neem een vaste $n$ zodat $\left|f^n(x)-f^n(y)\right|<\left|x-y\right|$. Dan is $f^n$ duidelijk continu, net als de functie $$g [0,1] \to \mathbb{R} x \mapsto f^n(x) - x.$$ Omdat $g(0) \geq 0$ en $g(1) \leq 0$ bestaat er een $x_0 \in [0,1]$ met $g\left(x_0\right) = 0$, of nog, $f^n\left(x_0\right) = x_0$. Nu is $$f^n\left(f\left(x_0\right)\right) = f\left(f^n\left(x_0\right)\right) = f\left(x_0\right).$$ Als $x_0 \neq f\left(x_0\right)$ is $$\left|x_0 - f\left(x_0\right)\right| = \left|f^n\left(x_0\right) - f^n\left(f\left(x_0\right)\right)\right| < \left|x_0 - f\left(x_0\right),$$ contradictie, dus $f\left(x_0\right) = x_0$. Bijgevolg is $x_0$ een vast punt van $f$. Als $f$ nog een ander vast punt zou hebben, dan zou dat punt ook automatisch een vast punt zijn van $f^n$, en dat geeft dan (zoals hierboven) een duidelijke contradictie.