IrMO 2004
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
- Voor welke natuurlijke $n$ geldt dat $2n|1+2+\cdots+n$?
- Voor welk van deze getallen geldt bovendien dat $2n+1|1+2+\cdot+n$?
[/]
Vraag 2
Elk van de spelers in een tennistoernooi speelde één match tegen elke andere speler. Als iedereen minsten één match gewonnen heeft, toon dan aan dat er drie spelers $A,B,C$ zijn zodat $A$ van $B$ won, $B$ van $C$ en $C$ van $A$.
Vraag 3
Zij $AB$ een koorde van lengte $6$ van een cirkel met middelpunt $O$ en straal $5$. Zij $PQRS$ het vierkant, ingeschreven in de cirkeldriehoek $OAB$, zodat $P\in OA$, $S\in OB$, en $P,Q$ op de boog tussen $A$ en $B$ liggen. Vind de oppervlakte van $PQRS$.
Vraag 4 Opgelost!
Bewijs dat er slechts twee $x\in\mathbb{R}$ bestaan waarvoor $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)=720$.
Vraag 5
Zij $a,b\ge0$. Toon aan dat $$\sqrt{2}\left(\sqrt{a(a+b)^3}+b\sqrt{a^2+b^2}\right)\le3(a^2+b^2),$$ met gelijkheid als en slechts als $a=b$.
Dag 2
Vraag 1 Opgelost!
Bepaal alle koppels priemgetallen $(p,q)$ met $2\le p,q<100$ waarvoor $p+6$, $p+10$, $q+4$, $q+10$ én $p+q+1$ allemaal priemgetallen zijn.
Vraag 2
Zij $A,B$ verschillende punten op de cirkel $T$. Zij $C$ een punt, verschillend van $B$, met $|AB|=|AC|$, en zodanig dat $BC$ raakt aan $T$ in $B$. Als de bissectrice van $\angle ABC$ de rechte $AC$ snijdt in $D$ (in het inwendige van de cirkel), bewijs dan dat $\angle ABC>72^\circ$.
Vraag 3 Opgelost!
Zij $n\ge2$ een gehele getal. Bepaal het eerste getal na de komma in de decimale voorstelling van $\sqrt[3]{n^3+2n^2+n}$.
Vraag 4
Zij $m\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}(x,y,z)\mapsto\max(x^2,y^2,z^2)$. Zij $S\subset\mathbb{R}^3$ de verzameling punten $(x,y,z)$ waarvoor $x+y+z=0$ en $x^2+y^2+z^2=1$. Vind $\min_{(x,y,z)\in S} m(x,y,z)$.
Vraag 5
$p,q$ zijn verschillende priemgetallen en $S$ een deelverzameling van $\{1,2,3,4\cdots,p-1 \}$ .
$N(S)$ is het aantal oplossingen van de vergelijking
$p|\sum_{i=1}^{q} x_i $ waar iedere $x_i \in S$ .
Bewijs dat $q| N(S)$.
