vergelijking

Opgave - IrMO 2004 dag 1 vraag 4

Bewijs dat er slechts twee $x\in\mathbb{R}$ bestaan waarvoor $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)=720$.

Oplossing

Beschouw $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)$
Als $x>6 \Rightarrow (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)>0$ en $f(x)$ is continu stijgend over $[6,+\infty]$
Als $x<1 \Rightarrow (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)>0$ en $f(x)$ is continu dalend over $[-\infty,1]$
Nu is $720=6!$ dus we zien dat er in die twee hierboven vermelde intervallen de functiewaarden $f(7)$ en $f(0)$ hieraan voldoen en dat er in die intervallen geen enkele andere zijn.
Als we een tekenstudie maken van $f(x)$, zien we dat de enige andere positieve waarden in de intervallen $]2,3[$ en $]4,5[$ liggen.
Nu, als $x \in ]2,3[$
$\Rightarrow x-1 \in ]1,2[$
$\Rightarrow x-2 \in ]0,1[$
$\Rightarrow x-3 \in ]-1,0[$
$\Rightarrow x-4 \in ]-2,-1[$
$\Rightarrow x-5 \in ]-3,-2[$
$\Rightarrow x-6 \in ]-4,-3[$
Zodat $f(x)$ nooit groter dan $48$ wordt. Een analoge redenering voor $x \in ]4,5[$ geeft een gelijkaardig resultaat. Hiermee is bewezen dat $x=7$ en $x=0$ de enige oplossingen zijn> $\blacksquare$