driehoeksgetallen

a)
$1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ zodat het eerste gevraagde gelijk is aan $2n|\frac{n(n+1)}{2}$ wat equivalent is met $4|n+1$ zodat $n\equiv 3\pmod 4$ en het gevraagde dus voldoet voor alle natuurlijke getallen met de vorm $n=4a+3$ met $a$ een natuurlijk getal.

b)
$2n+1|\frac{n(n+1)}{2}$ is equivalent met $2n+1|n+1$ omdat $2n+1$ en $n$ onderling copriem zijn. In deze uitdrukking is echter het linkerdeel altijd groter dan het rechterdeel (we veronderstellen dat $n$ niet gelijk is aan $0$) en dus klopt deze uitdrukking voor geen enkel natuurlijk getal.
Merk op dat $(2n+1)^2=8\frac{n(n+1)}{2}+1$ en de $2$ getallen relatief priem waren en $2n+1>1$.